Chủ đề này có 1 trả lời

[Super Fields]

Bài toán:

 

Cho $m;n$ là hai số tự nhiên lẻ. Tìm $m;n$ sao cho:

 

$m | (n^2+3)$     và    $n | (3m+1)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Super Fields: 14-08-2014 - 15:09

[HoangHungChelski]

Ta đặt $3m+1=nk$ với $k$ là số nguyên dương chẵn.

Ta có :

$\dfrac{nk-1}{3}\mid n^2+3\Rightarrow nk-1\mid 3n^2k+9k=3n(nk-1)+3n+9k\Rightarrow nk-1\mid 3n+9k$

Suy ra

$nk-1\leq 9k+3n\Leftrightarrow (n-9)(k-3)\leq 28$

Nếu $k=2$ , ta không tìm được $m,n$ thỏa đề.
Nếu $k=4$ thì :$$4n-1\mid 36+3n\Rightarrow n\in \left \{ 1,37 \right \}$$

Ta được bộ $(m,n)=(1,1),(49,37)$

Xét $k\geq 6$, ta có :

$n-9\leq \dfrac{28}{k-3}\leq \dfrac{28}{3}\Rightarrow n\leq 18$
Vì $n$ lẻ nên $n\in \left \{ 1,3,5,7,9,11,13,15,17 \right \}$. Lần lượt thử các giá trị này, ta chỉ nhận $n=13$, tương ứng $m=43$.

Vậy các bộ số thỏa mãn là $\boxed{(m,n)=(1,1),(43,13),(49,37)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangHungChelski: 16-08-2014 - 15:16