What are 5 last digits of the number $M=5^{2010}$ ???
What are 5 last digits of the number $M=5^{2010}$ ?
#1
Đã gửi 15-08-2014 - 22:42
Đừng lo lắng về khó khăn của bạn trong toán học, tôi đảm bảo với bạn rằng những khó khăn toán học của tôi còn gấp bội.
(Albert Einstein)
Visit my facebook: https://www.facebook.com/cao.simon.56
#2
Đã gửi 06-09-2014 - 22:52
What are 5 last digits of the number $M=5^{2010}$ ???
5 last digits of the number $M$ is the remainder of $M$ divide by $10^5$
$\frac{M}{10^5}=\frac{5^5.5^{2005}}{5^5.2^5}=\frac{5^{2005}}{2^5}$$=\frac{(2^2+1)^{2005}}{2^5}=\frac{\sum_{k=0}^{2005}C_{2005}^k.2^{2k}}{2^5}$$=\sum_{k=3}^{2005}C_{2005}^k.2^{2k-5}+\frac{C_{2005}^2.2^4+C_{2005}^1.2^2+C_{2005}^0.2^0}{2^5}$$=\sum_{k=3}^{2005}C_{2005}^k.2^{2k-5}+\frac{2005.2004}{2^2}+\frac{8021}{2^5}$
$=\sum_{k=3}^{2005}C_{2005}^k.2^{2k-5}+2005.501+250+\frac{21}{2^5}=\sum_{k=3}^{2005}C_{2005}^k.2^{2k-5}+2005.501+250+\frac{21.5^5}{10^5}$
$\Rightarrow$ 5 last digits of the number $M$ is $21.5^5=65625$.
- Near Ryuzaki và O0NgocDuy0O thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh