Chủ đề này có 5 trả lời

[Nxb]

Cho một dãy kép {$x_{i,j}$} gôm toán các số dương. Giả sử {$y_n$}={$x_{i,j}$} và $\sum_{n=1}^{\infty} y_n$ hội tụ. Mình đang tự hỏi là liệu $\sum_{n=1}^{\infty} y_n=\sum_{i=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{\infty} x_{i,j}$?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 16-08-2014 - 18:38

[KoBietDatTenSaoChoHot]

Mình nghĩ là mình hiểu câu hỏi của bạn. Nếu $x_{i,j}$ là các số dương, thì ta có định lý sau đây (chứng mỉnh rất dễ)

 

$$\sum_{i,j}x_{i,j}=\sum_{j}\sum_i x_{i,j}=\sum_i\sum_j x_{i,j}$$

 

Chú ý rằng, i, j ko nhất thiết thuộc $\mathbb{N}$, mà nó có thể thuộc một tập bất kỳ, ngay cả ko đếm được.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KoBietDatTenSaoChoHot: 17-08-2014 - 01:21

[Nxb]

 

 

$$\sum_{i,j}x_{i,j}=\sum_{j}\sum_i x_{i,j}=\sum_i\sum_j x_{i,j}$$

 

 

Cái về đầu tiên hiểu như thế nào vậy?

[KoBietDatTenSaoChoHot]

Cái về đầu tiên hiểu như thế nào vậy?

Cuối tuần mình sẽ có câu trả lời đầy đủ, giờ mình chỉ có cái di động nên viết cả cái cm ko tiện. Tuy nhiên, định nghĩa của nó như sau, trong trường hợp tổng quát nhất:

$\sum_{\alpha \in A}a_{\alpha}=\sup_{B \text{ is a finite subset of A}}\sum_{\alpha \in B}a_{\alpha}$

[KoBietDatTenSaoChoHot]

Hello,

 

Bữa giờ mình bận quá nên ko có thời gian viết proof cho bài này. Nếu bạn coi tiếng Anh được thì có thể tìm thấy chứng minh ở đây:

 

http://terrytao.word...besgue-measure/    (kéo xuống coi định lý 2,  Tonelli’s theorem for series)

[KoBietDatTenSaoChoHot]

Ngoài ra liên quan đến bài này còn có một bài cũng khá thú vị: Cho họ các số dương $\{x_\alpha\}_{\alpha\in A}$ (lưu ý, $A$ có thể ko đếm được). Chứng minh rằng nếu $\sum_{\alpha\in A}x_\alpha <\infty$ thì họ $\{x_\alpha\}_{\alpha\in A}$ có số các phần tử lớn hơn $0$ tối đa là đếm được. ( Tức là tập $\{\alpha\in A: x_\alpha>0\}$ có cardinality tối đa là đếm được).