Đến nội dung


Hình ảnh

Đề thi chọn dự tuyển HSG lớp 10 KHTN năm 2014-2015


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1 Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$ \heartsuit \int_{K48}^{HNUE}\heartsuit $

Đã gửi 19-08-2014 - 17:41

Đề thi chọn dự tuyển HSG lớp 10 THPT chuyên KHTN Hà Nội 2014-2015

 

Câu I: Cho $p$ là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh rằng : $p-4$ không thể là lũy thừa bậc 4 của 1 số nguyên.

 

Câu II: Giả hệ phương trình : $$\left\{\begin{matrix} x^3=y^3+56\\ 3x^2-9x=y^2-y+10 \end{matrix}\right.$$

 

Câu III: Cho $\Delta ABC$ nhọn. Gọi $P$ là điểm di chuyển trên $BC$. $(K), (L)$ là đường tròn ngoại tiếp $\Delta PAB,\Delta PAC$. Lấy $S$ thuộc $(K)$ sao cho $PS\parallel AB$, lấy $T$ thuộc $(L)$ sao cho $PT\parallel AC$

a, Chứng minh:  Đường tròn ngoại tiếp $\Delta AST$ đi qua điểm cố định khác $A$ là $J$

b, Gọi $(K)$ cắt $CA$ tại $E$, $(L)$ cắt $AB$ ở $F$ khác $A$. $BE$ cắt $CF$ ở $G$. Chứng minh rằng :  $PG$ đi qua $J$ khi và chỉ khi $AP$ đi qua tâm đường tròn Euler của $\Delta ABC$.

 

Câu IV: Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng :
$$\frac{a\left ( a^3+b^3 \right )}{a^2+ab+b^2}+\frac{b\left (b^3+c^3 \right )}{b^2+bc+c^2}+ \frac{c\left (c^3+a^3 \right )}{c^2+ca+a^2} \geq \frac{2}{9}\left ( a+b+c \right )^2$$

 

Câu V: Với $n$ là 1 số nguyên dương ta xét 1 bảng ô vuông $n \times n$. Mỗi ô vuông con được tô bởi 2 màu đỏ và xanh. TÌm $n$ nhỏ nhất sao cho với mỗi cách tô màu luôn có thể chọn được 1 hình chữ nhật các ô vuông con kích thước $m \times k\;\left (2\leq k; m\leq n \right )$ mà bốn ô vuông con ở 4 góc của hình chữ nhật này có cùng màu


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trang Luong: 20-08-2014 - 08:32
LaTeX fixed

"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#2 DANH0612

DANH0612

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 156 Bài viết

Đã gửi 19-08-2014 - 18:29

 

Đề thi chọn dự tuyển HSG lớp 10 THPT chuyên KHTN Hà Nội 2014-2015

 

 

Câu IV: Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng :
$$\frac{a\left ( a^3+b^3 \right )}{a^2+ab+b^2+}+\frac{b\left (b^3+c^3 \right )}{b^2+bc+c^2}+ \frac{c\left (c^3+a^3 \right )}{c^2+ca+a^2} \geq \frac{2}{9}\left ( a+b+c \right )^2$$

 

 

 

$VT=\sum \frac{a(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}{a^{2}+ab+b^{2}}= \sum a(a+b)(1-\frac{2ab}{a^{2}+ab+b^{2}})\geq \sum (a^{2}+ab)(1-\frac{2}{3})$

$= \frac{1}{3}\sum (a^{2}+ab)=\frac{2}{9}. \frac{3\sum a^{2}+3\sum ab}{2} \geq \frac{2}{9}.\frac{2\sum a^{2}+4\sum ab}{2}=\frac{2}{9}(\sum a)^{2}$

(vì $\sum a^{2}\geq \sum ab$) 

dấu = xãy ra khi a=b=c


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DANH0612: 19-08-2014 - 18:32


#3 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 19-08-2014 - 18:32

 


Câu II: Giả hệ phương trình : $$\left\{\begin{matrix} x^3=y^3+56\\ 3x^2-9x=y^2-y+10 \end{matrix}\right.$$


 

Lấy $(1)-3.(2)$ ta được $(x-3)^3=(y-1)^3 \Leftrightarrow x=y+2$ thay vào ta được $(y+2)^3=y^3+56$

$\Leftrightarrow y=-4\vee y=2$

Nếu $y=-4\Leftrightarrow x=-2$

Nếu $y=2\Leftrightarrow x=4$


►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#4 luuvanthai

luuvanthai

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 373 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THCS Hải Hậu
  • Sở thích:Number Theory

Đã gửi 19-08-2014 - 18:41

 

Đề thi chọn dự tuyển HSG lớp 10 THPT chuyên KHTN Hà Nội 2014-2015

 

Câu I: Cho $p$ là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh rằng : $p-4$ không thể là lũy thừa bậc 4 của 1 số nguyên.

 

$p=x^{4}+4=(x^{2}+2)^{2}-4x^{2}=(x^{2}+2x+2)(x^{2}-2x+2)$

Dễ thấy$x^{2}+2x+2=1\Leftrightarrow x=-1\Rightarrow p=-3$(vô lý)

$x^{2}-2x+2=1\Leftrightarrow x=1\Rightarrow p=5$ (k thoả mãn)

$\Rightarrow$ đpcm



#5 chardhdmovies

chardhdmovies

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 638 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:thpt chuyên nguyễn du
  • Sở thích:đá banh, chém gió, đánh cờ

Đã gửi 19-08-2014 - 21:09

 

 

Câu V: Với $n$ là 1 số nguyên dương ta xét 1 bảng ô vuông $n \times n$. Mỗi ô vuông con được tô bởi 2 màu đỏ và xanh. TÌm $n$ nhỏ nhất sao cho với mỗi cách tô màu luôn có thể chọn được 1 hình chữ nhật các ô vuông con kích thước $m \times k\;\left (2\leq k; m\leq n \right )$ mà bốn ô vuông con ở 4 góc của hình chữ nhật này có cùng màu

 

Gọi hình chữ nhật thoả mãn đề bài là hcn tốt.
* Với $n=2,3,4$ thì tồn tại cách tô sao cho không tồn tại hcn tốt.
* Ta chứng minh $\forall n \in \mathbb{N}^{*}, n\geq5$ trong hình vuông $n \times n$ luôn tồn tại ít nhất 1 hcn tốt.

* Với $n=5$, xét hình vuông $5 \times 5$:
Giả sử không tồn tại hcn thoả mãn đề bài
Theo nguyên lí Dirichlet, mỗi cột luôn tồn tại ít nhất 3 ô cùng màu.
- Nếu tồn tại 1 cột có 5 ô đỏ (xanh), dễ thấy luôn tồn tại hcn tốt với 4 đỉnh màu xanh (đỏ).
- Nếu tồn tại 1 cột có 4 ô đỏ hoặc xanh. Xét trường hợp 1 cột có 4 ô đỏ. Khi đó ta thấy rằng 4 cột còn lại chỉ tồn tại nhiều nhất 1 cột có 2 ô đỏ nếu không sẽ tồn tại 1 hcn tốt với 4 đỉnh màu đỏ. Khi đó ta có ít nhất 3 cột có 4 ô xanh nên tồn tại 1 hcn tốt với 4 đỉnh màu xanh.
- Xét trường hợp tất cả các cột được tô 3 ô đỏ, 2 ô xanh hoặc 3 ô xanh, 2 ô đỏ.
Theo nguyên lí Dirichlet luôn tồn tại 3 cột được tô 3 ô cùng màu. Giả sử đó là màu đỏ. Xét trường hợp xấu nhất là 3 ô của 3 cột ở hàng 3 đều có màu đỏ.
Xét 4 hàng còn lại. Tổng số ô đỏ của 3 cột ở 4 hàng này là $3.3-3=6=4+2$ nên theo nguyên lí Dirichlet tồn tại 2 cột có cùng ô đỏ ở 2 trong 4 hàng này nên tồn tại 1 hcn tốt với 4 đỉnh màu đỏ.
Vậy, với $n=5$ thì luôn tồn tại 1 hcn tốt trong hình vuông $5 \times 5$.
* Với $n>5$ thì hình vuông $n \times n$ chứa hình vuông $5 \times 5$ nên luôn tồn tại hcn tốt.
Vậy, $n=5$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chardhdmovies: 20-08-2014 - 17:37

                                                                                    chúng tôi là 3 người từ lớp 10 cá tính:NRC,NTP,A-Q


#6 Super Fields

Super Fields

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 526 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 20-08-2014 - 08:03

 

Đề thi chọn dự tuyển HSG lớp 10 THPT chuyên KHTN Hà Nội 2014-2015

 

 

Câu IV: Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng :
$$\frac{a\left ( a^3+b^3 \right )}{a^2+ab+b^2+}+\frac{b\left (b^3+c^3 \right )}{b^2+bc+c^2}+ \frac{c\left (c^3+a^3 \right )}{c^2+ca+a^2} \geq \frac{2}{9}\left ( a+b+c \right )^2$$

 

 

Ta có nhận xét:$$\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{2a}{3}$$

Từ đó:$$\sum \frac{a(a^3+b^3)}{a^2+ab+b^2}\geq \sum \frac{2a^2}{3}\geq \frac{2}{9}(\sum a)^2$$


$\dagger$God made the integers, and else is the work of man.$\dagger$


$\boxed{\textrm{My Blog}}$


#7 quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 632 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 21-08-2014 - 15:51

Có thể tham khảo lời giải câu hình ở đây

 

http://analgeomatica...op-10-khtn.html



#8 Trung Gauss

Trung Gauss

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 86 Bài viết

Đã gửi 25-08-2014 - 15:30

câu hình bạn tham khảo ở đây nhé

http://dinhtrungphan...-10-truong.html



#9 Kiratran

Kiratran

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 296 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{\text{Phú Thọ}}$
  • Sở thích:Coffee

Đã gửi 21-06-2017 - 13:29

Ta có :$ab\leq \frac{a^2 +b^2}{2}$

Chứng minh được :$\sum \frac{a(a^3+b^3)}{a^2+ab+b^2}\geq \sum \frac{a(a+b)}{3}$
biễn đổi tương đương ta được đpcm


Duyên do trời làm vương vấn một đời.





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh