Đến nội dung

Hình ảnh

cho $x^{2}+y^{2}-xy=4$ tìm min của $x^{2}+y^{2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 19 trả lời

#1
linhdan611

linhdan611

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 47 Bài viết

cho $x^{2}+y^{2}-xy=4$

tìm min của $x^{2}+y^{2}$

 

có phải min =8 khi x=y=2 không ạ???



#2
datmc07061999

datmc07061999

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 198 Bài viết

cho $x^{2}+y^{2}-xy=4$

tìm min của $x^{2}+y^{2}$

 

có phải min =8 khi x=y=2 không ạ???

Ta có với mọi x;y : $xy\leq \frac{x^{2}+y^{2}}{2}\Rightarrow x^{2}+y^{2}-xy\geq \frac{x^{2}+y^{2}}{2}\Rightarrow x^{2}+y^{2}\leq 8$

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=2$.

Với $xy\geq 0\Rightarrow x^{2}+y^{2}\geq 4$

Với $xy<0$ thì không tìm được min đâu...


Hãy cố gắng vượt qua tất cả dù biết mình chưa là gì...


#3
einstein627

einstein627

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 102 Bài viết

Sorry làm sai nhé :v dạo này ngu quá


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi einstein627: 20-08-2014 - 01:08

-Học từ ngày hôm qua, sống ngày hôm nay, hi vọng cho ngày mai. Điều quan trọng nhất là không ngừng đặt câu hỏi.

-Albert Einstein

 
-Khi Bạn Sắp Bỏ Cuộc, Hãy Nhớ Tới Lý Do Khiến Bạn Bắt Đầu.

 


#4
linhdan611

linhdan611

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 47 Bài viết

tại sao lại có điều kiện x,y dương



#5
linhdan611

linhdan611

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 47 Bài viết

min=8 là đúng chứ ạ??



#6
linhdan611

linhdan611

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 47 Bài viết

ta có: $x^{2}+y^{2}\geq 2xy$

từ gt suy ra: $2x^{2}+2y^{2}-8=2xy$

 

trừ vế theo vế ta được 

$-(x^{2}+y^{2})\geq -8$

suy ra

$x^{2}+y^{2}\geq 8$

suy ra....

min=8 

<=>x=y=2


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi linhdan611: 19-08-2014 - 21:54


#7
DANH0612

DANH0612

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 156 Bài viết

cho $x^{2}+y^{2}-xy=4$

tìm min của $x^{2}+y^{2}$

 

có phải min =8 khi x=y=2 không ạ???

với y=0 thì P=4

với y$\neq 0$

$Q=\frac{P}{4}=\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}-xy}=\frac{t^{2}+1}{t^{2}-t+1}\Rightarrow (Q-1)t^{2}-Qt+(Q-1)=0$

để pt có ngiệm thì

$Q^{2}-4(Q-1)^{2}\geq 0\Rightarrow 2\geq Q\geq \frac{2}{3}\Rightarrow 8\geq P\geq \frac{8}{3}$

vậy maxP=8 khi x=y=$\pm 2$

      minP =$\frac{8}{3}$ khi x=-y=$x=-y=\frac{\pm 2}{\sqrt{3}}$



#8
DANH0612

DANH0612

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 156 Bài viết

ta có: $x^{2}+y^{2}\geq 2xy$

từ gt suy ra: $2x^{2}+2y^{2}-8=2xy$

 

trừ vế theo vế ta được 

$-(x^{2}+y^{2})\geq -8$

suy ra

$x^{2}+y^{2}\geq 8$

suy ra....

min=8 

<=>x=y=2

bất đẵng thức đổi dấu bạn 



#9
linhdan611

linhdan611

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 47 Bài viết

tại sao y phải chia ra thành 2 trưòng hợp vậy?



#10
linhdan611

linhdan611

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 47 Bài viết
DANH0612 

có thể giải thích lí do bạn là như vậy k?



#11
DANH0612

DANH0612

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 156 Bài viết

tại sao y phải chia ra thành 2 trưòng hợp vậy?

nếu y=0 thì mik chia tử và mẫu k dx 

 

với y=0 thì P=4

với y$\neq 0$

$Q=\frac{P}{4}=\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}-xy}=\frac{t^{2}+1}{t^{2}-t+1}\Rightarrow (Q-1)t^{2}-Qt+(Q-1)=0$

để pt có ngiệm thì

$Q^{2}-4(Q-1)^{2}\geq 0\Rightarrow 2\geq Q\geq \frac{2}{3}\Rightarrow 8\geq P\geq \frac{8}{3}$

vậy maxP=8 khi x=y=$\pm 2$

      minP =$\frac{8}{3}$ khi x=-y=$x=-y=\frac{\pm 2}{\sqrt{3}}$

t=$\frac{x}{y}$

cho nên mik xét 2 trường hợp ak 



#12
linhdan611

linhdan611

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 47 Bài viết

tại sao lại chia 2TH là y=0 và y$\neq$0



#13
DANH0612

DANH0612

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 156 Bài viết

nếu y=0 thì mik chia tử và mẫu k dx 

 

t=$\frac{x}{y}$

cho nên mik xét 2 trường hợp ak 

 

với y=0 thì P=4

với y$\neq 0$

$Q=\frac{P}{4}=\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}-xy}=\frac{(\frac{x}{y})^{2}+1}{(\frac{x}{y})^{2}-\frac{x}{y}+1}= \frac{t^{2}+1}{t^{2}-t+1}\Rightarrow (Q-1)t^{2}-Qt+(Q-1)=0$

để pt có ngiệm thì

$Q^{2}-4(Q-1)^{2}\geq 0\Rightarrow 2\geq Q\geq \frac{2}{3}\Rightarrow 8\geq P\geq \frac{8}{3}$

vậy maxP=8 khi x=y=$\pm 2$

      minP =$\frac{8}{3}$ khi x=-y=$x=-y=\frac{\pm 2}{\sqrt{3}}$

mik viết rõ hơn ak , 

đối với y=0 mik tim dx giá tri của P dể dàng rồi 

mik dùng phiong phap này để tìm miền giá tri cua P và so sánh với th1 $\Rightarrow$ max ,min



#14
linhdan611

linhdan611

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 47 Bài viết

tại sao để pt có nghiệm thì điều đó phải xảy ra ạ?



#15
linhdan611

linhdan611

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 47 Bài viết

tại sao lại đạt t=$\frac{x}{y}$ vậy ạ



#16
linhdan611

linhdan611

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 47 Bài viết

bạn cứ giải thích đi nhưng có cách đơn giản hơn nhièu



#17
einstein627

einstein627

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 102 Bài viết

Quên mất bài này năm ngoái học rồi =((

 

 

tại sao để pt có nghiệm thì điều đó phải xảy ra ạ?

 

tại sao lại đạt t=$\frac{x}{y}$ vậy ạ

Em đọc thêm phần pt bậc 2 delta nhé 
Còn việc đặt như thế là 1 kĩ năng, để làm gọn lại thôi mà


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi einstein627: 20-08-2014 - 01:11

-Học từ ngày hôm qua, sống ngày hôm nay, hi vọng cho ngày mai. Điều quan trọng nhất là không ngừng đặt câu hỏi.

-Albert Einstein

 
-Khi Bạn Sắp Bỏ Cuộc, Hãy Nhớ Tới Lý Do Khiến Bạn Bắt Đầu.

 


#18
CHU HOANG TRUNG

CHU HOANG TRUNG

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 237 Bài viết

cho $x^{2}+y^{2}-xy=4$

tìm min của $A=x^{2}+y^{2}$

 

có phải min =8 khi x=y=2 không ạ???

Ta có Ta thấy ngay : $x,y$ không đồng thời bằng 0.

Ta có : $$x^2+y^2-xy - \dfrac{A}{2} = \dfrac{(x-y)^2}{2} \ge 0 $$
Suy ra : $A \le 8$
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=\pm 2$
Tiếp tục :
$$A- \dfrac{x^2+y^2-xy}{3} = \dfrac{2}{3}.(x+y)^2 \ge 0$$
Suy ra $A \ge \dfrac{4}{3} $


:like  MATHS   :like

ღ Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic. 

 

:ukliam2: Học, Học nữa , Học mãi     :ukliam2:

:icon12:  :icon12:  :icon12:

 

   :ukliam2:      My Blog : http://chuhoangtrung....blogspot.com/      :ukliam2:

 


#19
linhdan611

linhdan611

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 47 Bài viết

vậy tóm lại min=$\frac{4}{}3$ hay min=$\frac{8}{3}$ mới đúng ạ



#20
Nguyentiendung9372

Nguyentiendung9372

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 131 Bài viết

cho $x^{2}+y^{2}-xy=4$

tìm min của $x^{2}+y^{2}$

 

${\left( {x + y} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {x^2} + {y^2} \ge  - 2xy \Leftrightarrow 3\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \ge 2\left( {{x^2} + {y^2} - xy} \right) = 8$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh