Chủ đề này có 1 trả lời

[hoanglvn]

CMR :

 

Phần tử $f \in X^{x}$ có tính chất giản ước phải nếu và chỉ nếu f toàn ánh .

Tương tự $f \in X^{x}$ có tính chất giản ước nếu f là song ánh 

 

Mình mới học đại số đại cương...nên ko hiểu cm làm sao..mấy bác giúp với..cảm ơn ạ   

[fghost]

có lẽ bạn nên sửa lại tiêu đề cho phù hợp nội quy.

 

Còn phần chứng minh thì có lẽ chỉ là diễn giải định nghĩa, thế nào là "có tính chất giản ước phải", thế nào là "toàn ánh."

 

Giản ước phải, có nghĩa là nếu $g \circ f= h \circ f$, thì $g = h$. 

 

Chiều $[\Leftarrow].$ Giả sử $g \circ f= h \circ f,$ với $f: X \rightarrow Y$, và $g,h: Y \rightarrow Z$, ta có nếu $y \in Y$, vì $f$ toàn ánh, ta có $x\in X$ sao cho $f(x)=y$. Sau đó, $g(f(x))=h(f(x))$ vì vậy $g(y)=h(y)$. Ta đã chứng minh với mọi $y \in Y$, $g(y)=h(y)$, vì vậy $g=h$.

 

Chiều $[\Rightarrow].$ Với $f: X \rightarrow Y,$ giả sử $f$ không toàn ánh, có nghĩa tồn tại $y_0 \in Y$ sao cho với mọi $x \in X$, $f(x) \ne y_0$. Ta dựng 2 ánh xạ như sau

$$g,~ h:Y \rightarrow Y \cup \{Y\}$$

$$g(y)=y$$

$$h(y)=y \text{ nếu } y \ne y_0 \text{ và } h(y_0)=Y$$

 

Sau đó, ta thấy $g \circ f= h \circ f$ vì $y_0 \notin f(X)$. Mà dĩ nhiên $g\ne h$ vì ta đã cố tình dựng 2 ánh xạ như vậy.

 

Còn phần 2 thì tương tự.

 

Tất nhiên tùy thuộc vào $X^x$ của bạn là gì mà bạn phải sửa lại 1 chút phần chứng minh trên.

 

Có 1 điểm thú vị nên nói thêm, điều này đúng khi ta nói đến Category của tập (Sets) và chứng minh trên ngầm thừa nhận điều này. Trong nhiều trường hợp, toàn ánh và "có tính giản lược phải" không giống nhau (toàn ánh $\Rightarrow$ "giản lược phải", nhưng "có tính chất giản lược phải", không có nghĩa là toàn ánh). Thí dụ, trong Category của vành với đơn vị, ta lấy $f: Z \rightarrow Q$ với $f(x)=x$, dễ thấy $f$ không phải toàn ánh, nhưng $f$ có tính chất giản lược phải.