Chủ đề này có 5 trả lời

[Zurnie]

B1, Cho a,b,c>0 và a+b+c=6

Tìm MinP=$\frac{b+c+5}{a+1}+\frac{c+a+4}{b+2}+\frac{a+b+3}{c+3}$

B2, Cho a,b,c>0

Tìm MaxP=$\sum \frac{\sqrt{ab}}{c+3\sqrt{ab}}$

B3, Cho x,y,z,t>0

       x+y+z+t=2

Tìm MinP=$\frac{(x+y+z)\left ( x+y \right )}{xyzt}$

B4, Cho x,y,z>0 và xy+yz+zx=1

Tìm MinP=$\sum \frac{x}{\sqrt{3}y+yz}$

[Mikhail Leptchinski]

B1, Cho a,b,c>0 và a+b+c=6

Tìm MinP=$\frac{b+c+5}{a+1}+\frac{c+a+4}{b+2}+\frac{a+b+3}{c+3}$

Ta có:$P+3=(a+b+c+6)(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+3})\geq (a+b+6).\frac{9}{a+b+c+6}=9$

nên $P\geq 6$

Dấu bằng xảy ra $a=3,b=2,c=1$

[lahantaithe99]

 

B2, Cho a,b,c>0

Tìm MaxP=$\sum \frac{\sqrt{ab}}{c+3\sqrt{ab}}$

 

B4, Cho x,y,z>0 và xy+yz+zx=1

Tìm MinP=$\sum \frac{x}{\sqrt{3}y+yz}$

Bài 2:

 

$3P=\sum \frac{3\sqrt{ab}}{c+3\sqrt{ab}}=\sum (1-\frac{c}{c+3\sqrt{ab}})=3-\sum \frac{c}{c+3\sqrt{ab}}$

 

Áp dụng Cauchy Shwarz có

 

$\sum \frac{c}{c+3\sqrt{ab}}\geqslant \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}{\sum a+3\sum\sqrt{ab} }\geqslant \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2+\sum \sqrt{ab}}$

 

$\geqslant \frac{3}{4}\Rightarrow 3P\leqslant \frac{9}{4}\rightarrow P\leqslant \frac{3}{4}$

 

Bài 4: Có vấn đề gì không nhỉ (xem lại  biến $y$ dưới mẫu xem sao)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 29-08-2014 - 01:29

[Zurnie]

Bài 2:

 

$3P=\sum \frac{3\sqrt{ab}}{c+3\sqrt{ab}}=\sum (1-\frac{c}{c+3\sqrt{ab}})=3-\sum \frac{c}{c+3\sqrt{ab}}$

 

Áp dụng Cauchy Shwarz có

 

$\sum \frac{c}{c+3\sqrt{ab}}\geqslant \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}{\sum a+3\sum\sqrt{ab} }\geqslant \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2+\sum \sqrt{ab}}$

 

$\geqslant \frac{3}{4}\Rightarrow 3P\leqslant \frac{9}{4}\rightarrow P\leqslant \frac{3}{4}$

 

Bài 4: Có vấn đề gì không nhỉ (xem lại  biến $y$ dưới mẫu xem sao)

Bài 4 ko có vấn đề gì đâu ạ. Chính xác 100% đấy ạ.

[TonnyMon97]

Bài 4:$\sum \frac{x}{\sqrt{3}y+yz}=\sum \frac{x^2}{\sqrt{3}xy+xyz}\ge\frac{(x+y+z)^2}{\sqrt{3}+3xyz}\ge\frac{(x+y+z)^2}{\sqrt{3}+\frac{1}{x+y+z}}\ge \frac{3\sqrt{3}}{4}$

Trong bài trên ta dùng 2 BĐT phụ: $1=xy+yz+zx\le \frac{(x+y+z)^2}{3}\Rightarrow x+y+z\ge \sqrt{3} \\1=(xy+yz+zx)^2\ge3xyz(x+y+z)\Rightarrow 3xyz\le \frac{1}{x+y+z}$

Dấu bằng có khi $x=y=z=\frac{\sqrt{3}}{3}$

Vậy $Min P=\frac{3\sqrt{3}}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TonnyMon97: 30-08-2014 - 18:48

[kobietlamtoan]

B3, Cho x,y,z,t>0

       x+y+z+t=2

Tìm MinP=$\frac{(x+y+z)\left ( x+y \right )}{xyzt}$

 

Nốt Bài 3 nhé. Bài cân bằng hệ số thông thường:

 

Ta có: $x+y+\frac{z}{2}+\frac{z}{2}\geq \frac{4}{\sqrt[4]{4}}*x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{4}}z^{\frac{1}{2}}$

 

$x+y\geq 2\sqrt{xy}$

 

$\Rightarrow \frac{(x+y+z)(x+y)}{xyzt}\geq \frac{8}{\sqrt[4]{4}*\sqrt[4]{xyz^2t^4}}$

 

Và $2= x+y+\frac{z}{2}+\frac{z}{2}+\frac{t}{4}+\frac{t}{4}+\frac{t}{4}+\frac{t}{4}\geq \frac{8}{\sqrt[8]{1024}}\sqrt[8]{xyz^2t^4}$

 

Từ đó Suy Ra min P = 2 <=> $x=y=\frac{1}{4}; z=\frac{1}{2};t=1$