1/ tính:
S = $C_{2005}^{0} + 2^{2}C_{2005}^{2} + 2^{4}C_{2005}^{4} + ... + 2^{2002}C_{2005}^{2002} + 2^{2004}C_{2005}^{2004}$
$S_{2} = 3^{4010}C_{2005}^{0} - 3^{4008}2C_{2005}^{1} + 3^{4006}2^{2}C_{2005}^{2} - 2^{2005}C_{2005}^{2005}$
2/ CMR
$C_{2005}^{0} + 2C_{2005}^{1} + ... + 2^{2005}C_{2005}^{2005} = 2^{4010}C_{2005}^{0} - 2^{2048}C_{2005}^{1} +...- C_{2005}^{2005}$
3/ chứng minh công thức vandemonde
với m,n \epsilon N*, k \epsilon N, k \leq m, k \leq n, thì ta có
$C_{m+n}^{k} = C_{m}^{0}C_{n}^{k} + C_{m}^{1}C_{n}^{k-1} + ... + C_{m}^{k}C_{n}^{0}$
Bài 1:
a)
$\left ( 1+2 \right )^{2005}=\sum_{k=0}^{2005}C_{2005}^{k}.2^{k}$ (1)
$\left ( 1-2 \right )^{2005}=\sum_{i=0}^{2005}C_{2005}^{i}.(-2)^{i}$ (2)
Cộng từng vế hai phương trình (1) và (2)
$\Rightarrow 3^{2005}-1=2.\left (C_{2005}^{0}+2^{2}.C_{2005}^{2}+...+2^{2004}.C_{2005}^{2004} \right )$
$\Rightarrow S=\frac{3^{2005}-1}{2}$
b)
$\left ( 3^{2}-2 \right )^{2005}=\sum_{k=0}^{2005}C_{2005}^{k}.3^{2.(2005-k)}.(-2)^{k}=S_{2}$
Bài 2:
$3^{2005}=(1+2)^{2005}=\sum_{k=0}^{2005}C_{2005}^{k}.2^{k}$
Mặt khác
$3^{2005}=\left ( 2^{2}-1 \right )^{2005}=\sum_{k=0}^{2005}C_{2005}^{k}.2^{2.(2005-k)}.(-1)^{k}$
suy ra đpcm
Bài 3:
Có thể chứng minh công thức bằng cách giải bài toán đếm sau bằng 2 cách:
Tính số cách chọn ra nhóm kk học sinh từ m học sinh nam và n học sinh nữ