Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $ab+bc+ac=3$ và số thực $k\geq 1$
CMR : $\sum \frac{1}{a^2+b^2+k}\leq \frac{3}{2+k}$
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $ab+bc+ac=3$ và số thực $k\geq 1$
CMR : $\sum \frac{1}{a^2+b^2+k}\leq \frac{3}{2+k}$
ta có $[a^2+b^2+1+(k-1)][1+1+c^2+(k-1)(\frac{a+b+c}{3})^2]\geq [a+b+c+(k-1)(\frac{a+b+c}{3})]^2=\frac{(k+2)^2(a+b+c)^2}{9}$
$\Rightarrow \sum \frac{1}{a^2+b^2+k}\leq \frac{9(\sum a^2+6)+3(k-1)(a+b+c)^2}{(k+2)^2(a+b+c)^2}=\frac{9(\sum a^2+2\sum ab)+3(k-1)(a+b+c)^2}{(k+2)^2)(a+b+c)^2}=\frac{3}{k+2}$
NTP
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chardhdmovies: 04-09-2014 - 21:30
chúng tôi là 3 người từ lớp 10 cá tính:NRC,NTP,A-Q
Cho $ab+bc+ca=3$,a,b,c>0 CMR:
$\sum \frac{1}{a^{2}+b^{2}+k}\leq \frac{3}{2+k}$
Không có giới hạn tư duy nào của con người ngoài giới hạn do chính con người đặt ra (Napoleon Hill)
Bất đẳng thức tương đương với: $\sum \dfrac{b^2+c^2}{b^2+c^2+k}\geqslant \dfrac{6}{2+k}$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: $VT=\sum \dfrac{(b+c)^2}{(b+c)^2+\dfrac{k(b+c)^2}{b^2+c^2}}\geqslant \dfrac{4(a+b+c)^2}{\sum (b+c)^2+k\sum \dfrac{(b+c)^2}{b^2+c^2}}$
Do đó ta chỉ cần chứng minh: $2(k+2)(a+b+c)^2\geqslant 3\sum (b+c)^2+3k\sum \dfrac{(b+c)^2}{b^2+c^2}$
$2(k+2)(a+b+c)^2-36-18k=(k+2)\sum (b-c)^2$
$3\sum (b+c)^2-36=3\sum (b+c)^2-12(ab+bc+ca)=3\sum (b-c)^2$
$3k\sum \dfrac{(b+c)^2}{b^2+c^2}-18k=-3k\sum \dfrac{(b-c)^2}{b^2+c^2}$
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: $\sum (b-c)^2\left(k-1+\dfrac{3k}{b^2+c^2}\right)\geqslant 0$
Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng nên ta có điều phải chứng minh.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 06-02-2016 - 18:59
Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.
Không mất tính tổng quát, giả sử $b$ nằm giữa $a$ và $c$ thì $(a-b)(b-c)\geq 0$
Bất đẳng thức tương đương với: $\sum \dfrac{b^2+c^2}{b^2+c^2+k}\geqslant \dfrac{6}{2+k}$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: $VT=\sum \dfrac{(b+c)^2}{(b+c)^2+\dfrac{k(b+c)^2}{b^2+c^2}}\geqslant \dfrac{4(a+b+c)^2}{\sum (b+c)^2+k\sum \dfrac{(b+c)^2}{b^2+c^2}}$
Do đó ta chỉ cần chứng minh: $2(k+2)(a+b+c)^2\geqslant 3\sum (b+c)^2+3k\sum \dfrac{(b+c)^2}{b^2+c^2}$
$2(k+2)(a+b+c)^2-36-18k=(k+2)\sum (b-c)^2$
$3\sum (b+c)^2-36=3\sum (b+c)^2-12(ab+bc+ca)=3\sum (b-c)^2$
$3k\sum \dfrac{(b+c)^2}{b^2+c^2}-18k=-3k\sum \dfrac{(b-c)^2}{b^2+c^2}$
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: $\sum (b-c)^2\left(k-1+\dfrac{3k}{b^2+c^2}\right)\geqslant 0$
Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng nên ta có điều phải chứng minh.
Làm thế nào mà bạn biết mà nhân (b+c)^2 thế
Không có giới hạn tư duy nào của con người ngoài giới hạn do chính con người đặt ra (Napoleon Hill)
Làm thế nào mà bạn biết mà nhân (b+c)^2 thế
Kinh nghiệm làm thôi bạn, cái này cũng thuộc dạng là bảo đảm điểm rơi tại biên nên dùng nó cũng an tâm.
Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.
Kinh nghiệm làm thôi bạn, cái này cũng thuộc dạng là bảo đảm điểm rơi tại biên nên dùng nó cũng an tâm.
what ,điểm rơi tại tâm mà
Không có giới hạn tư duy nào của con người ngoài giới hạn do chính con người đặt ra (Napoleon Hill)
Bất đẳng thức tương đương: $\sum \dfrac{b^2+c^2}{b^2+c^2+k}\geqslant \dfrac{6}{k+2}$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: $VT\geqslant \dfrac{\left(\sum \sqrt{b^2+c^2}\right)^2}{2(a^2+b^2+c^2)+3k}$
Mà $\left(\sum \sqrt{b^2+c^2}\right)^2=2(a^2+b^2+c^2)+2\sum \sqrt{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}\geqslant 4(a^2+b^2+c^2)+6$
Do đó ta chỉ cần chứng minh: $(k+2)\left[2\left(a^2+b^2+c^2\right)+3\right]\geqslant 3\left[2\left(a^2+b^2+c^2\right)+9k\right]\Leftrightarrow (k-1)\sum (b-c)^2\geqslant 0$
Bất đẳng thức cuối hiển nhiên đúng nên cho ta điều phải chứng minh.
Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh