Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum \frac{1}{a^2+b^2+k}\leq \frac{3}{2+k}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1
Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $ab+bc+ac=3$ và số thực $k\geq 1$

 

  CMR : $\sum \frac{1}{a^2+b^2+k}\leq \frac{3}{2+k}$



#2
chardhdmovies

chardhdmovies

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 638 Bài viết

ta có $[a^2+b^2+1+(k-1)][1+1+c^2+(k-1)(\frac{a+b+c}{3})^2]\geq [a+b+c+(k-1)(\frac{a+b+c}{3})]^2=\frac{(k+2)^2(a+b+c)^2}{9}$

$\Rightarrow \sum \frac{1}{a^2+b^2+k}\leq \frac{9(\sum a^2+6)+3(k-1)(a+b+c)^2}{(k+2)^2(a+b+c)^2}=\frac{9(\sum a^2+2\sum ab)+3(k-1)(a+b+c)^2}{(k+2)^2)(a+b+c)^2}=\frac{3}{k+2}$

 

                                                                        NTP


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chardhdmovies: 04-09-2014 - 21:30

                                                                                    chúng tôi là 3 người từ lớp 10 cá tính:NRC,NTP,A-Q


#3
huuhieuht

huuhieuht

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 191 Bài viết

Cho $ab+bc+ca=3$,a,b,c>0 CMR:

  $\sum \frac{1}{a^{2}+b^{2}+k}\leq \frac{3}{2+k}$
 


Không có giới hạn tư duy nào của con người ngoài giới hạn do chính con người đặt ra (Napoleon Hill)   :D  :D  :D  :like  ~O) 


#4
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

Bất đẳng thức tương đương với: $\sum \dfrac{b^2+c^2}{b^2+c^2+k}\geqslant \dfrac{6}{2+k}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: $VT=\sum \dfrac{(b+c)^2}{(b+c)^2+\dfrac{k(b+c)^2}{b^2+c^2}}\geqslant \dfrac{4(a+b+c)^2}{\sum (b+c)^2+k\sum \dfrac{(b+c)^2}{b^2+c^2}}$

Do đó ta chỉ cần chứng minh: $2(k+2)(a+b+c)^2\geqslant 3\sum (b+c)^2+3k\sum \dfrac{(b+c)^2}{b^2+c^2}$

$2(k+2)(a+b+c)^2-36-18k=(k+2)\sum (b-c)^2$

$3\sum (b+c)^2-36=3\sum (b+c)^2-12(ab+bc+ca)=3\sum (b-c)^2$

$3k\sum \dfrac{(b+c)^2}{b^2+c^2}-18k=-3k\sum \dfrac{(b-c)^2}{b^2+c^2}$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: $\sum (b-c)^2\left(k-1+\dfrac{3k}{b^2+c^2}\right)\geqslant 0$

Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng nên ta có điều phải chứng minh.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 06-02-2016 - 18:59

Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#5
hoanglong2k

hoanglong2k

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 965 Bài viết

 Không mất tính tổng quát, giả sử $b$ nằm giữa $a$ và $c$ thì $(a-b)(b-c)\geq 0$

 Điều cần chứng minh $\Leftrightarrow \sum \dfrac{(a+b)^2}{a^2+b^2+k}+\sum \dfrac{(a-b)^2}{a^2+b^2+k}\geq \dfrac{12}{2+k}$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có :
$\sum \dfrac{(a+b)^2}{a^2+b^2+k}+\sum \dfrac{(a-b)^2}{a^2+b^2+k}\geq \dfrac{4(a+b+c)^2+4(a-c)^2}{2\sum a^2+3k}$
Nên ta cần chứng minh
$[(a+b+c)^2+(a-c)^2](2+k)\geq 6\sum a^2+9k$
$\Leftrightarrow (2+k)(2a^2+2c^2+b^2+6-2ac)-(6\sum a^2+9k)\geq 0$
$\Leftrightarrow k(2a^2+2c^2+b^2-3-2ac)-(2a^2+2c^2+4b^2-12+4ac)\geq 0$
Do $k\geq 1$ và $2a^2+2c^2+b^2-3-2ac=\sum a^2-\sum ab+(a-c)^2\geq 0$ nên 
          $k(2a^2+2c^2+b^2-3-2ac)-(2a^2+2c^2+4b^2-12+4ac)\geq (a-b)(b-c)\geq 0$
BĐT trên đúng theo giả sử nên ta có điều cần chứng minh
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$


#6
huuhieuht

huuhieuht

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 191 Bài viết

Bất đẳng thức tương đương với: $\sum \dfrac{b^2+c^2}{b^2+c^2+k}\geqslant \dfrac{6}{2+k}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: $VT=\sum \dfrac{(b+c)^2}{(b+c)^2+\dfrac{k(b+c)^2}{b^2+c^2}}\geqslant \dfrac{4(a+b+c)^2}{\sum (b+c)^2+k\sum \dfrac{(b+c)^2}{b^2+c^2}}$

Do đó ta chỉ cần chứng minh: $2(k+2)(a+b+c)^2\geqslant 3\sum (b+c)^2+3k\sum \dfrac{(b+c)^2}{b^2+c^2}$

$2(k+2)(a+b+c)^2-36-18k=(k+2)\sum (b-c)^2$

$3\sum (b+c)^2-36=3\sum (b+c)^2-12(ab+bc+ca)=3\sum (b-c)^2$

$3k\sum \dfrac{(b+c)^2}{b^2+c^2}-18k=-3k\sum \dfrac{(b-c)^2}{b^2+c^2}$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: $\sum (b-c)^2\left(k-1+\dfrac{3k}{b^2+c^2}\right)\geqslant 0$

Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng nên ta có điều phải chứng minh.

Làm thế nào mà bạn biết mà nhân (b+c)^2 thế


Không có giới hạn tư duy nào của con người ngoài giới hạn do chính con người đặt ra (Napoleon Hill)   :D  :D  :D  :like  ~O) 


#7
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

Làm thế nào mà bạn biết mà nhân (b+c)^2 thế

Kinh nghiệm làm thôi bạn, cái này cũng thuộc dạng là bảo đảm điểm rơi tại biên nên dùng nó cũng an tâm.


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#8
huuhieuht

huuhieuht

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 191 Bài viết

Kinh nghiệm làm thôi bạn, cái này cũng thuộc dạng là bảo đảm điểm rơi tại biên nên dùng nó cũng an tâm.

what ,điểm rơi tại tâm mà 


Không có giới hạn tư duy nào của con người ngoài giới hạn do chính con người đặt ra (Napoleon Hill)   :D  :D  :D  :like  ~O) 


#9
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

what ,điểm rơi tại tâm mà 

Nhiều bài cái đại lượng $(b+c)^2$ đảm bảo điểm rơi biên bạn. Ví dụ $a,b,c\geqslant 0$ thì $\sum \dfrac{(b+c)^2}{a^2+bc}\geqslant 6$


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#10
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

Bất đẳng thức tương đương: $\sum \dfrac{b^2+c^2}{b^2+c^2+k}\geqslant \dfrac{6}{k+2}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: $VT\geqslant \dfrac{\left(\sum \sqrt{b^2+c^2}\right)^2}{2(a^2+b^2+c^2)+3k}$

Mà $\left(\sum \sqrt{b^2+c^2}\right)^2=2(a^2+b^2+c^2)+2\sum \sqrt{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}\geqslant 4(a^2+b^2+c^2)+6$

Do đó ta chỉ cần chứng minh: $(k+2)\left[2\left(a^2+b^2+c^2\right)+3\right]\geqslant 3\left[2\left(a^2+b^2+c^2\right)+9k\right]\Leftrightarrow (k-1)\sum (b-c)^2\geqslant 0$

Bất đẳng thức cuối hiển nhiên đúng nên cho ta điều phải chứng minh.


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh