Đến nội dung


Hình ảnh

Giá trị lớn nhất của đa thức trên một khoảng


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 zipienie

zipienie

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 532 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Bên nhóm mình bán sách, tài liệu online dạng pdf.Bạn tham khảo thêm ở fb https://www.facebook.com/SachTailieuLuanvan/

    Gmail: nam9921[at]gmail.com
    @=[at]

Đã gửi 31-08-2014 - 15:06

Cho đa thức $P(x)$ bậc $n \ge 3$ có n nghiệm thực $x_1 < x_2 < ... < x_n$ ; thỏa mãn $x_2-x_1 < x_3-x_2 < ... < x_n-x_{n-1}$ . Chứng minh rằng giá trị lớn nhất của hàm số $y = |P(x)|$ trên đoạn $[x_1;x_n]$ sẽ xảy ra tại điểm nằm trên đoạn $[x_{n-1} ; x_n]$


Luận văn, tài liệu tham khảo toán học : http://diendantoanho...ảo/#entry499457

Sách, Luận Văn, Tài liệu tham khảo https://www.facebook...TailieuLuanvan/

#2 nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 547 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Daklak
  • Sở thích:đã từng có

Đã gửi 25-07-2022 - 21:15

Bài PSW này lâu quá rồi nhỉ  :icon6:

 

Cho đa thức $P(x)$ bậc $n \ge 3$ có n nghiệm thực $x_1 < x_2 < ... < x_n$ ; thỏa mãn $x_2-x_1 < x_3-x_2 < ... < x_n-x_{n-1}$ . Chứng minh rằng giá trị lớn nhất của hàm số $y = |P(x)|$ trên đoạn $[x_1;x_n]$ sẽ xảy ra tại điểm nằm trên đoạn $[x_{n-1} ; x_n]$

Ta sẽ chứng minh rằng với mọi $\alpha \in [x_1,x_{n-1}]$ thì luôn tồn tại $\alpha^*\in (x_{n-1},x_n)$ sao cho $|P(\alpha)|<|P(\alpha^*)|$.

Với $\alpha\in \{x_1,x_2,\dots,x_{n-1}\}$ thì $|P(\alpha)|=0$ nên trường hợp này tầm thường. Ta xét $\alpha\in (x_k,x_{k+1})$ với $1\le k\le n-2$, chọn $\alpha^*=x_n-(\alpha-x_k)$.

Capture.PNG

Ta sẽ chứng tỏ

$$|P(\alpha)|<|P(\alpha^*)|\iff \left|\prod_{i=1}^n(\alpha-x_i)\right|< \left|\prod_{i=1}^n(\alpha^*-x_i)\right|.$$

$\bullet$ Với $1\le i\le k$, dễ thấy $0<\alpha-x_i<\alpha^*-x_i$. Với $i=k$ thì hiểu nhiên $|\alpha-x_k|=|\alpha^*-x_n|$.

$\bullet$ Với $1\le i\le n-k$, ta sẽ chứng minh $|\alpha-x_{k+i}|<|\alpha^*-x_{n-i}|$ như sau

$$\begin{align*}x_{k+i}-\alpha&=(x_{k+1}-\alpha)+(x_{k+2}-x_{k+1})+\dots+(x_{k+i}-x_{k+i-1})\\&<(\alpha^*-x_{n-1})+(x_{n-1}-x_{n-2})+\dots+(x_{n-i+1}-x_{n-i})\\&=\alpha^*-x_{n-i}. \end{align*}$$

Vậy bài toán được giải quyết hoàn toàn. 


Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra  ~O) 

Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em  :wub: 

Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh  :ukliam2: 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh