Đến nội dung

Hình ảnh

$\sqrt{\frac{a}{8b+c}}+\sqrt{\frac{b}{8c+a}}+\sqrt{\frac{c}{8a+b}}\geq 1$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
phuocdinh1999

phuocdinh1999

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 265 Bài viết

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh: $\sqrt{\frac{a}{8b+c}}+\sqrt{\frac{b}{8c+a}}+\sqrt{\frac{c}{8a+b}}\geq 1$



#2
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

$f(a)=\sqrt{\dfrac{a}{8b+c}}$

 

$f'(a)=\dfrac{1}{2\sqrt{a(8b+c)}}$

 

$f'(\dfrac{8b+c}{9})=\dfrac{3}{2(8b+c)}$

 

$f(\dfrac{8b+c}{9})=\dfrac{1}{3}$

 

Ta sẽ chứng minh: $\sqrt{\dfrac{a}{8b+c}} \ge \dfrac{3a}{2(8b+c)}+\dfrac{1}{6}$

 

Áp dụng vào: $VT \geqslant \dfrac{3}{2}(\dfrac{a}{8b+c}+\dfrac{b}{8c+a}+\dfrac{c}{8a+b})+\dfrac{1}{2} \geqslant \dfrac{3(a+b+c)^2}{18(ab+bc+ca)}+\dfrac{1}{2}\ge 1$

 

Anh chị xem lại cái BDT trên có đúng không đã, em lười chứng minh lắm :P


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#3
Mikhail Leptchinski

Mikhail Leptchinski

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 703 Bài viết

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh: $\sqrt{\frac{a}{8b+c}}+\sqrt{\frac{b}{8c+a}}+\sqrt{\frac{c}{8a+b}}\geq 1$

Đặt $a=x^2,b=y^2,c=z^2(x,y,z)>0$.Bất đẳng thức cần phải chứng minh

<=>$\sum \frac{x}{\sqrt{8y^2+z^2}}\geq 1$

Áp dụng bđt svát ta có:$\sum \frac{x}{\sqrt{8y^2+z^2}}\geq \frac{(x+y+z)^2}{\sum x\sqrt{8y^2+z^2}}$

Do đó ta phải chứng minh:$(x+y+z)^2\geq \sum x\sqrt{8y^2+z^2}$

Xét 2 trường hợp

Trường hợp 1:

Nếu $x\geq y\geq z$ xét hàm số :$f(x)=VT-VP$ ta có:

$f'(x)=2(x+y+z)-\sqrt{8y^2+z^2}-\frac{xy}{\sqrt{x^2+8z^2}}-\frac{8xz}{\sqrt{8x^2+y^2}}$

$f"(x)=2-\frac{8yz^2}{(x^2+8z^2)^{3/2}}-\frac{8y^2z}{(8x^2+y^2)^(3/2}\geq 2-\frac{8yz^2}{(y^2+8z^2)^{3/2}}-\frac{8y^2z}{(8y^2+y^2)^{3/2}}=2-\frac{8z}{27y}-\frac{8yz^2}{(y^2+8z^2)^{3/2}}\geq 0$

Suy ra $f"(x)$ đồng biến do đó

$f'(x)\geq f"(x)=4y-\frac{2}{3}z-\sqrt{8y^2+z^2}-\frac{y^2}{\sqrt{y^2+8z^2}}\geq 0$

Do đó:$f(x)$ đồng biến.Từ đó:$f(x)\geq f(y)=4y^2+yz+z^2-y\sqrt{8y^2+z^2}-z\sqrt{y^2+8z^2}\geq 0$

Trường hợp 2:

Nếu $z\geq y\geq x$ xét hàm số $F(z)=VT-VP$ ta có:

$F'(z)=2(x+y+z)-\sqrt{8x^2+y^2}-\frac{8yz}{\sqrt{8z^2+x}-\frac{xz}\sqrt{z^2+8y^2}}$

$F"(z)=2-\frac{8x^2y}{(8z^2+x^2)^{3/2}}-\frac{8xy^2}{(z^2+8y^2)^{3/2}}\geq 2-\frac{8x^2y}{(8y^2+x^2)^{3/2}}-\frac{8xy^2}{(y^2+8y^2)^{3/2}}=2-\frac{8x}{27y}-\frac{8x^2y}{(8y^2+x^2)^{3/2}}\geq 0$^2}}$

Suy ra:$F'(z)$ đồng biến do đó:

$F'(z)\geq F'(y)=4y+\frac{5}{3}x-\sqrt{8x^2+y^2}-\frac{8y^2}{\sqrt{x^2+8y^2}}\geq 0$

Từ đó :$F(z)$ đồng biến vậy có:

$F(z)\geq F(y)=x^2+xy+4y^2-y\sqrt{x^2+8y^2}-y\sqrt{8x^2+y^2}\geq 0$

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

Dấu bằng xảy ra:<=>$a=b=c=>Q.E.D$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mikhail Leptchinski: 20-09-2014 - 18:29

Chính trị chỉ cho hiện tại,nhưng phương trình là mãi mãi

(Albert Einstein)
Đường đi không khó vì ngăn sông cách núi,mà khó vì lòng người ngại núi e sông




Đừng xấu hổ khi không biết ,chỉ xấu hổ khi không học

Các bạn ủng hộ kỹ thuật tìm điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức nhé
:icon12: :icon12: Tại đây :icon12: :icon12:

#4
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

$$(a,b,c)=(x^2,y^2,z^2)$$

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta thu được:

$$\left(\sum \sqrt{\frac{x^2}{8y^2+z^2}}\right)\left(\sum x\sqrt{8y^2+z^2}\right) \geqslant (x+y+z)^2$$

Giờ cần chứng minh:

$$(x+y+z)^2\geqslant x\sqrt{8y^2+z^2}+y\sqrt{8z^2+x^2}+z\sqrt{8x^2+y^2}$$

Dùng hệ số phụ để thiết lập, chứng minh:

$$\sqrt{8y^2+z^2} \leqslant 3y+z-\frac{3yz}{2y+z}$$

Ta quy về việc chứng minh:

$$3xyz\sum \frac{1}{2y+z}+\sum x^2-2\sum yz \geqslant 0$$

$$\sum \frac{1}{2y+z} \geqslant \frac{3}{x+y+z}$$

Vì vậy ta cần chứng minh:

$$x^2+y^2+z^2+\frac{9xyz}{x+y+z}\geqslant 2(xy+yz+zx)$$

Đây chính là bất đẳng thức Schur bậc 3.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 10-12-2014 - 14:56

Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#5
HoangHungChelski

HoangHungChelski

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 283 Bài viết

$$(a,b,c)=(x^2,y^2,z^2)$$

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta thu được:

$$\left(\sum \sqrt{\frac{x^2}{8y^2+z^2}}\right)\left(\sum x\sqrt{8y^2+z^2}\right) \geqslant (x+y+z)^2$$

Giờ cần chứng minh:

$$(x+y+z)^2\geqslant x\sqrt{8y^2+z^2}+y\sqrt{8z^2+x^2}+z\sqrt{8x^2+y^2}$$

Dùng hệ số phụ để thiết lập, chứng minh:

$$\sqrt{8y^2+z^2} \leqslant 3y+z-\frac{3yz}{2y+z}$$

Ta quy về việc chứng minh:

$$3xyz\sum \frac{1}{2y+z}+\sum x^2-2\sum yz \geqslant 0$$

$$\sum \frac{1}{2y+z} \geqslant \frac{3}{x+y+z}$$

Vì vậy ta cần chứng minh:

$$x^2+y^2+z^2+\frac{9xyz}{x+y+z}\geqslant 2(x+y+z)$$

Đây chính là bất đẳng thức Schur bậc 3.


Spam tí: Vừa chiều nay trong giờ học hình em cũng vừa nghĩ ra cách y hệt anh =)) Đang định post thì....


$$\boxed{\text{When is (xy+1)(yz+1)(zx+1) a Square?}}$$                                





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh