$A)$ Nếu hàm vận tốc $v(t)$ có đồ thị hình sin :
Khi đó hàm gia tốc có dạng $a(t)=\sin(\omega t)$ (với $\omega$ là hằng số dương)
(vì $-1\leqslant a(t)\leqslant 1$)
$\Rightarrow$ Thời gian chạy short-run là $T= \frac{2\pi }{\omega }$
$v(t)=\frac{1}{\omega }-\frac{1}{\omega }\cos(\omega t)$
Và $s(t)=\frac{1}{\omega }t-\frac{1}{\omega ^2}\sin(\omega t)$
$s(T)=s(\frac{2\pi }{\omega })=4\Rightarrow \frac{2\pi }{\omega^2 }-\frac{1}{\omega ^2}\sin(2\pi )=4\Rightarrow \omega =\sqrt{\frac{\pi }{2}}$
Vậy $v(t)=\sqrt{\frac{2}{\pi }}-\sqrt{\frac{2}{\pi }}\cos\left ( \sqrt{\frac{\pi }{2}}t \right )$
$T=\frac{2\pi }{\omega }=2\sqrt{2\pi }$
$v_{max}=v\left ( \frac{T}{2} \right )=v\left ( \sqrt{2\pi } \right )=2\sqrt{\frac{2}{\pi }}$
Hiệu suất $H=\frac{1}{T(T+T_{1})}=\frac{v_{max}}{v_{max}(T^2+TT_{1})}=\frac{v_{max}}{v_{max}T^2+36T}=\frac{1}{44\pi }\approx0,007234$
$B)$ Nếu hàm vận tốc $v(t)$ là hàm bậc bốn, nó sẽ có dạng
$v(t)=K\left ( t^2-Tt \right )^2=K(t^4-2Tt^3+T^2t^2)$ ($K,T$ là các hằng số dương)
(vì như vậy thì nó mới có cực trị tại 3 điểm là $0$, $T$ và $\frac{T}{2}$)
$a(t)=2K(t^2-Tt)(2t-T)=2K(2t^3-3Tt^2+T^2t)$
$s(t)=K\left ( \frac{t^5}{5}-\frac{T}{2}t^4+\frac{T^2}{3}t^3 \right )$
$s(T)=4\Rightarrow K\left ( \frac{T^5}{5}-\frac{T^5}{2}+\frac{T^5}{3} \right )=4\Rightarrow KT^5=120$ (1)
$a'(t)=2K(6t^2-6Tt+T^2)$
Thời điểm gia tốc đạt cực đại và cực tiểu là nghiệm pt $a'(t)=0$ hay $6t^2-6Tt+T^2=0$
Gia tốc đạt cực đại bằng $1$ khi $t=t_{1}=\frac{3-\sqrt{3}}{6}T$ và đạt cực tiểu bằng $-1$ khi $t=t_{2}=\frac{3+\sqrt{3}}{6}T$
$a(t_{1})=1\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{9}KT^3=1\Rightarrow KT^3=3\sqrt{3}$ (2)
(1),(2) $\Rightarrow T^2=\frac{40}{\sqrt{3}}\Rightarrow T=\frac{2\sqrt{10}}{\sqrt[4]{3}}\Rightarrow K=\frac{9\sqrt[4]{3}}{80\sqrt{10}}$
$\Rightarrow v(t)=\frac{9\sqrt[4]{3}}{80\sqrt{10}}\left ( t^2-\frac{2\sqrt{10}}{\sqrt[4]{3}}t \right )^2$
$v_{max}=v\left ( \frac{T}{2} \right )=\frac{9\sqrt{10}}{8\sqrt[4]{27}}$
$\Rightarrow hiệu suất H=\frac{v_{max}}{v_{max}T^2+36T}=\frac{\sqrt{3}}{232}\approx 0,007466$
So sánh 2 trường hợp $A$ và $B$, trường hợp $B$ có hiệu suất thang máy tốt hơn.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 10-09-2014 - 06:18