1. Nếu $p$ là số nguyên tố dạng $6k+1$ thì tồn tại số nguyên $x$ sao cho $x^2+3 \vdots p$
2. Nếu $p$ là số nguyên tố dạng $6k+5$ thì không tồn tại số nguyên $x$ sao cho $x^2+3 \vdots p$
Thầy mình bảo giải 2 bài này bằng phương trình đồng dư.
1. Nếu $p$ là số nguyên tố có dạng $6k+1$ thì $p\equiv 1($$mod$ $6)$$\Rightarrow$ $p\equiv 1($$mod$ $3),$ vậy bài toán đã trở về chứng minh rằng: nếu $p$ là số nguyên tố có dạng $3k+1$ thì tồn tại số nguyên $x$ sao cho $x^{2}+3$ $\vdots$ $p.$ Mà dễ thấy $p\neq 3$ nên
Bây giờ ta sẽ chứng minh một điều ngược lại là: Nếu $p$ là số nguyên tố có dạng $3k+2$ thì không tồn tại số nguyên $x$ sao cho $x^{2}+3$ $\vdots$ $p.$
Giả sử tồn tại số nguyên $x$ sao cho $x^{2}+3$$\vdots$ $p$ hay $x^{2}+3\equiv0$$($$mod$$p)$$\Rightarrow x^{2}\equiv -3$$($$mod$ $p)$ $\Rightarrow \left ( \frac{-3}{p} \right )=1.$
Theo định lý tiêu chuẩn $Euler$ ta có: $1=\left ( \frac{-3}{p} \right )=\left ( \frac{-1}{p} \right )\left ( \frac{3}{p} \right )=\left ( -1 \right )^{\frac{p-1}{2}}\left ( \frac{3}{p} \right ).$
Theo luật tương hỗ $Gauss$ ta có: $\left ( \frac{3}{p} \right )\left ( \frac{p}{3} \right )=\left ( -1 \right )^{\frac{(3-1)(p-1)}{4}}=\left ( -1 \right )^{\frac{p-1}{2}}\Rightarrow \left ( \frac{3}{p} \right )=\left ( -1 \right )^{\frac{p-1}{2}}\left ( \frac{p}{3} \right ).$
Từ đây ta suy ra: $1=\left ( \frac{-3}{p} \right )=\left ( -1 \right )^{\frac{p-1}{2}}\left ( -1 \right )^{\frac{p-1}{2}}\left ( \frac{p}{3} \right )=\left ( -1 \right )^{p-1}\left ( \frac{p}{3} \right )$ ($*$)
Mà $p$ là số nguyên tố có dạng $3k+2$ nên $p\equiv 2($$mod$ $3)$$\Rightarrow \left ( \frac{p}{3} \right )=\left ( \frac{2}{3} \right )=\left ( -1 \right )^{\frac{3^{2}-1}{8}}=-1,$ từ đây thay vào ($*$) ta được: $1=\left ( -1 \right )^{p-1}\left ( -1 \right )=\left ( -1 \right )^{p}=-1,$ điều này vô lý nên suy ra điều phải chứng minh. Hay nếu $p$ là số nguyên tố có dạng $3k+1$ thì tồn tại số nguyên $x$ sao cho $x^{2}+3$ $\vdots$ $p.$ Vậy nếu $p$ là số nguyên tố có dạng $6k+1$ thì tồn tại số nguyên $x$ sao cho $x^{2}+3$ $\vdots$ $p.$
2. Nếu $p$ là số nguyên tố có dạng $6k+5$ thì $p\equiv 2($$mod$ $3),$ mà theo câu 1. thì không tồn tại số nguyên $x$ sao cho $x^{2}+3$ $\vdots$ $p.$ Vậy từ đây suy ra, nếu $p$ là số nguyên tố có dạng $6k+5$ thì không tồn tại số nguyên $x$ sao cho $x^{2}+3$ $\vdots$ $p.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zz Isaac Newton Zz: 29-10-2017 - 16:55