Theo phong trào , hôm nay ngày $2-9$ xin đóng góp cái chuyên đề này luôn , cái này học từ năm lớp $9$ , lục lọi mấy cuốn vở cũ thì thấy cái chuyên đề này , cùng với sự giúp đỡ của sieusieu90 sẽ post lên cho mọi người tham khảo và chém bài tập . Cái chuyên đề này thì ít gặp , có thể nói là hiếm ( cũng k biết nó hiếm hay k nữa , vì chưa gặp đề thi có bài này )
Ứng dụng của nó thì cũng nhiều , VD chứng minh một điểm thuộc một đường thẳng hay đường tròn cố định , hoặc chứng minh một đường thẳng đi qua một điểm cố định , hoặc có thể tìm cực trị ....
Sau đây là Bài toán về đường tròn A-pô-lô-ni-ut
Bài toán : Cho hai điểm phân biệt $A,B$ và số thực $k\neq 1$. Chứng minh trong tập hợp những điểm $m$ sao cho $\frac{MA}{MB}=k$ là một đường tròn , được gọi là đường tròn A-pô-lô-ni-ut ứng với hai điểm $A,B$ và tỉ số $k$ .
Giải :
Hình $1$(phía dưới ) :
Gọi $C,D$ lần lượt là các điểm chia trong, chia ngoài đoạn $AB$ theo tỉ số $k$
+ Nếu $\frac{MA}{MB}=k$ suy ra $\frac{DA}{DB}=\frac{MA}{MB}=\frac{CA}{CB}$
Do đó hoặc $M\equiv D$ hoặc $M\equiv C$ hoặc $MC,MD$ lần lượt là phân giác trong , phân giác ngoài của góc $\widehat{AMB}$ hay $\widehat{DMC}=90^0$
Suy ra $M$ thuộc đường tròn đường kính $CD$
+ Ngược lại nếu $M$ thuộc đường tròn đường kính $CD$
$TH_1$ : Nếu $M\equiv D$ hoặc $M\equiv C$ thì rõ ràng $\frac{MA}{MB}=k$
$TH_2$ : Nếu $M\neq C, M\neq D$ . Hạ $AE$ vuông góc với $MC$ , $AE$ cắt $MB$ tại $N$ . Ta có :
$\frac{AN}{DM}=\frac{AB}{DB}=1-k$
$\frac{AE}{DM}=\frac{AC}{DC}=\frac{1-k}{2}$
Suy ra $\frac{AN}{DM}=2\frac{AE}{DM}$ do đó $2AE=AN$ hay $\Delta MAN$ cân tại $M$
Do đó $\frac{MA}{MB}=\frac{MN}{MB}=\frac{DA}{DB}=\frac{CA}{CB}=k$
Vậy tập hợp những điểm $M$ sao cho $\frac{MA}{MB}=k$ là đường tròn $(O)$ đường kính $CD$
..................................................................................................................................................................................................................
Còn nữa , tối nay mắc học , chưa viết xong , mai về bổ sung VD và Bài tập nhé , mong M.n tham gia giải bài tập nhiệt tình
SieuSieu90 : vào đăng VD + bài tập luôn đi
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BMT BinU: 04-09-2014 - 22:22