Đến nội dung

Hình ảnh

$\boxed{Chuyên Đề}$ Đường tròn A-pô-lô-ni-ut

* * * - - 2 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết

Theo phong trào , hôm nay ngày $2-9$ xin đóng góp cái chuyên đề này luôn , cái này học từ năm lớp $9$ , lục lọi mấy cuốn vở cũ thì thấy cái chuyên đề này , cùng với sự giúp đỡ của sieusieu90 sẽ post lên cho mọi người tham khảo và chém bài tập  . Cái chuyên đề này thì ít gặp , có thể nói là hiếm :D ( cũng k biết nó hiếm hay k nữa , vì chưa gặp đề thi có bài này )

Ứng dụng của nó thì cũng nhiều , VD chứng minh một điểm thuộc một đường thẳng hay đường tròn cố định , hoặc chứng minh một đường thẳng đi qua một điểm cố định , hoặc có thể tìm cực trị ....

 

Sau đây là Bài toán về đường tròn A-pô-lô-ni-ut

Bài toán : Cho hai điểm phân biệt $A,B$ và số thực $k\neq 1$. Chứng minh trong tập hợp những điểm $m$ sao cho $\frac{MA}{MB}=k$ là một đường tròn , được gọi là đường tròn A-pô-lô-ni-ut ứng với hai điểm $A,B$ và tỉ số $k$ .

 

Giải : 

Hình $1$(phía dưới ) : 

Gọi $C,D$ lần lượt là các điểm chia trong, chia ngoài đoạn $AB$ theo tỉ số $k$

+ Nếu $\frac{MA}{MB}=k$ suy ra $\frac{DA}{DB}=\frac{MA}{MB}=\frac{CA}{CB}$

Do đó hoặc $M\equiv D$ hoặc $M\equiv C$ hoặc $MC,MD$ lần lượt là phân giác trong , phân giác ngoài của góc $\widehat{AMB}$ hay $\widehat{DMC}=90^0$

Suy ra $M$ thuộc đường tròn đường kính $CD$

+ Ngược lại nếu $M$ thuộc đường tròn đường kính $CD$ 

$TH_1$ : Nếu $M\equiv D$ hoặc $M\equiv C$ thì rõ ràng $\frac{MA}{MB}=k$

$TH_2$ : Nếu  $M\neq C, M\neq D$ . Hạ $AE$ vuông góc với $MC$ , $AE$ cắt $MB$ tại $N$ . Ta có :

$\frac{AN}{DM}=\frac{AB}{DB}=1-k$

$\frac{AE}{DM}=\frac{AC}{DC}=\frac{1-k}{2}$

Suy ra $\frac{AN}{DM}=2\frac{AE}{DM}$ do đó $2AE=AN$ hay $\Delta MAN$ cân tại $M$

Do đó $\frac{MA}{MB}=\frac{MN}{MB}=\frac{DA}{DB}=\frac{CA}{CB}=k$

Vậy tập hợp những điểm $M$ sao cho $\frac{MA}{MB}=k$ là đường tròn $(O)$ đường kính $CD$

 

..................................................................................................................................................................................................................

Còn nữa , tối nay mắc học , chưa viết xong , mai về bổ sung VD và Bài tập nhé , mong M.n tham gia giải bài tập nhiệt tình 

SieuSieu90 : vào đăng VD + bài tập luôn đi

 

Hình gửi kèm

  • aa.PNG

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BMT BinU: 04-09-2014 - 22:22


#2
Near Ryuzaki

Near Ryuzaki

    $\mathbb{NKT}$

  • Thành viên
  • 804 Bài viết

Ví dụ 1. Cho tam giác $ABC$ không cân . Điểm $M$ thay đổi trong tam giác sao cho $\widehat{AMC}-\widehat{ABC}=\widehat{AMB}-\widehat{ACB}.$ Chứng minh $M$ thuộc đường tròn cố định

Lời giải : Dựng ra phía ngoài tam giác $ABC$ một điểm $N$ sao cho $\triangle{ANC}\sim \triangle{AMB}.$

Suy ra $\frac{AN}{AM}=\frac{AB}{AC}$ và $\angle{BAC}=\angle{MAN}$

nên $\triangle{AMN}\sim \triangle{ABC}$, do đó $\angle{AMN}=\angle{ABC}$ 
suy ra $\angle{AMC}-\angle{ABC}=\angle{AMC}-\angle{AMN}=\angle{CMN}(1)$

Mặt khác $\angle{ANC}=\angle{AMB},\angle{ANM}=\angle{ACB}$

Suy ra $\angle{AMB}-\angle{ACB}=\angle{ANC}-\angle{ANM}=\angle{MNC}(2)$

Từ (1), (2), $\angle{CMN}=\angle{CNM}$ suy ra $CN=CM$

Do đó $\frac{AM}{AB}=\frac{CN}{AC}=\frac{CM}{AC}\Rightarrow \frac{AM}{CM}=\frac{AB}{AC}$ không đổi/

Vậy $M$ thuộc đường tròn $Appolonius$ dựng trên đoạn $AC$ với tỉ số là $\frac{AB}{AC}.$

Hình gửi kèm

  • vdad.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieusieu90: 02-09-2014 - 22:14


#3
Near Ryuzaki

Near Ryuzaki

    $\mathbb{NKT}$

  • Thành viên
  • 804 Bài viết

Bài tập $1.$ Cho đoạn thẳng $PQ$ cố định. Tìm tập hợp $(L)$ gồm những điểm sao cho tỉ số khoảng cách từ mỗi điểm đó đến $P$ và $Q$ bằng $\dfrac{m}{n}$với $m,n$ là độ dài hai cạnh cho trước.

Bài tập $2.$ Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH .$ Chứng minh các đường tròn $H − apollonius$ của các tam giác $AHB,AHC$ giao nhau tại tâm đường tròn $A − apollonius$ của tam giác ABC

Bài tập $3.$ 

......................


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieusieu90: 02-09-2014 - 22:23


#4
ngutoanso1

ngutoanso1

    Hạ sĩ

  • Banned
  • 96 Bài viết

Cho tam giác ABC với BC=a, CA=b, AB=c. A', B', C' tương ứng là hình chiếu của trọng tâm G lên các cạnh BC, CA, AB

Chứng minh: $a^{2}\underset{GA'}{\rightarrow}+b^{2}\underset{GB'}{\rightarrow}+c^{2}\underset{GC'}{\rightarrow}=underset{GC'}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngutoanso1: 02-10-2015 - 13:46


#5
Maytroi

Maytroi

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 95 Bài viết

có tài liệu trên mạng nào viết kĩ về phần này không ạ?


:ph34r:người đàn ông bí ẩn :ninja:


#6
The flower

The flower

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 51 Bài viết

Bài tập 3:Cho tam giác ABC có AD,AE lần lượt là pg trong và ngoài của tam giác .Chứng minh đường tròn Apollonius của tam giác đối với góc A trực giao với (ABC)


     (~~)  (~~)  (~~) Mỗi người luôn đúng theo cách của riêng mình  >:)  >:)  >:) 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh