Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm GTLN $$\frac{x^{2}+1}{y^{2}+1}+\frac{y^{2}+1}{z^{2}+1}+\frac{z^{2}+1}{x^{2}+1}$$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
tap lam toan

tap lam toan

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 178 Bài viết

Cho $x,y,z$ là các số thực không âm thỏa $x+y+z=1$. Tìm GTLN của
$$f(x,y,z)=\frac{x^{2}+1}{y^{2}+1}+\frac{y^{2}+1}{z^{2}+1}+\frac{z^{2}+1}{x^{2}+1}$$

Bài toán 22 trang 94 quyển "Sáng tạo bất đẳng thức" của PKH


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tap lam toan: 12-09-2014 - 16:24


#2
Mikhail Leptchinski

Mikhail Leptchinski

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 703 Bài viết

Cho $x,y,z$ là các số thực không âm thỏa $x+y+z=1$. Tìm GTLN của
$$f(x,y,z)=\frac{x^{2}+1}{y^{2}+1}+\frac{y^{2}+1}{z^{2}+1}+\frac{z^{2}+1}{x^{2}+1}$$

Bài toán 22 trang 94 quyển "Sáng tạo bất đẳng thức" của PKH

Bạn vào đây để tranh luận nhé!


Chính trị chỉ cho hiện tại,nhưng phương trình là mãi mãi

(Albert Einstein)
Đường đi không khó vì ngăn sông cách núi,mà khó vì lòng người ngại núi e sông




Đừng xấu hổ khi không biết ,chỉ xấu hổ khi không học

Các bạn ủng hộ kỹ thuật tìm điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức nhé
:icon12: :icon12: Tại đây :icon12: :icon12:

#3
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Giả sử x = max{x,y,z} thì $\frac{1}{3}\leqslant x\leqslant 1$  

Ta xét bất đẳng thức: $\frac{y^2+1}{z^2+1}+\frac{z^2+1}{x^2+1}\leqslant (y+z)^2+1+\frac{1}{x^2+1}$ 

Nó tương đương với: $\frac{z(x^2z^3+2x^2yz^2+2yz^2+x^2y^2z+y^2z+2x^2z+z+2x^2y+2y)}{(x^2+1)(z^2+1)}\geqslant 0$ 

và $\frac{x^2+1}{y^2+1}\leqslant x^2+1$ 

Suy ra $VT\leqslant x^2+(y+z)^2 + \frac{1}{x^2+1}+2\leqslant \frac{7}{2}\Leftrightarrow \frac{(1-x)(1-3x-4x^3)}{2(x^2+1)}\leqslant 0$   *đúng*

Đẳng thức xảy ra khi có 2 số bằng 0 và 1 số bằng 1


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 09-04-2021 - 11:33

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh