Chủ đề này có 8 trả lời

[Trang Luong]

Cho $a,b,c>0;ab+bc+ca=3$ . Tìm $max$ $$P=\frac{1}{a^2+b^2+2}+\frac{1}{b^2+c^2+2}+\frac{1}{c^2+a^2+2}$$

[dance]

Cho $a,b,c>0;ab+bc+ca=3$ . Tìm $max$ $$P=\frac{1}{a^2+b^2+2}+\frac{1}{b^2+c^2+2}+\frac{1}{c^2+a^2+2}$$

 

Cái mẫu thứ nhất, Cauchy đc:

 

$(a^2+1) + (b^2+1)$ $\ge$ $2(a+b)$

 

Suy ra: $\frac{1}{a^2+b^2+2}$   $\dfrac{1}{2(a+b)}$

 

Tương tự đc P   $\dfrac{1}{2(a+b)} + \dfrac{1}{2(b+c)} +\dfrac{1}{2(c+a)}$

 

Nên: 8P   $\dfrac{4}{a+b} + \dfrac{4}{b+c} +\dfrac{4}{c+a}$  $2.(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})$

 

Mặt khác thì dễ thấy:

 

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$     $ab+bc+ca$

 

(c/m = tương đương)

 

Do đó P max = $\dfrac{3}{4}$

 

Dấu "=" tại a=b=c=1

[Trang Luong]

Cái mẫu thứ nhất, Cauchy đc:

 

$(a^2+1) + (b^2+1)$ $\ge$ $2(a+b)$

 

Suy ra: $\frac{1}{a^2+b^2+2}$   $\dfrac{1}{2(a+b)}$

 

Tương tự đc P   $\dfrac{1}{2(a+b)} + \dfrac{1}{2(b+c)} +\dfrac{1}{2(c+a)}$

 

Nên: 8P   $\dfrac{4}{a+b} + \dfrac{4}{b+c} +\dfrac{4}{c+a}$  $2.(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})$

 

Mặt khác thì dễ thấy:

 

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$     $ab+bc+ca$

 

(c/m = tương đương)

 

Do đó P max = $\dfrac{3}{4}$

 

Dấu "=" tại a=b=c=1

BĐT này sai nếu 1 trong 3 số $a,b,c$ nhỏ hơn 1

[dance]

 

BĐT này sai nếu 1 trong 3 số $a,b,c$ nhỏ hơn 1

 

Này nhé:

 

$3=ab+bc+ca$ $\ge$ $3.\sqrt[3]{a^2b^2c^2}$

 

Suy ra: $a^2b^2c^2$  1

 

Tương đương: $abc$ $\ge$ 1 hoặc $abc$  -1 (loại vì a,b,c >0)

 

=>  $abc$ $\ge$ 1

 

Cái $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$  $ab+bc+ac$

 

<=> $\dfrac{ab+bc+ca}{abc}$  $ab+bc+ca$

 

<=> $\dfrac{1}{abc}$   $1$

 

<=> 1  abc ( đúng)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dance: 10-09-2014 - 09:34

[Trang Luong]

 

 

Này nhé:

 

$3=ab+bc+ca$ $\ge$ $3.\sqrt[3]{a^2b^2c^2}$

 

Suy ra: $a^2b^2c^2$  1

 

Tương đương: $abc$ $\ge$ 1 hoặc $abc$  -1 (loại vì a,b,c >0)

 

=>  $abc$ $\ge$ 1

 

Cái $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$  $ab+bc+ac$

 

<=> $\dfrac{ab+bc+ca}{abc}$  $ab+bc+ca$

 

<=> $\dfrac{1}{abc}$   $1$

 

<=> 1  abc ( đúng)

Không hiểu bạn là học sinh lớp 10 mà vẫn nhầm ngớ ngẩn. 

Minh chỉ rõ 2 điều vô lý nhá. Với $a^2b^2c^2\leq 1\Rightarrow \left | abc \right |\leq 1\Rightarrow -1\leq abc\leq 1$ không bao giờ lại $abc\geq 1$

Mình cho bạn ví dụ với $a=b=\frac{1}{2},c=\frac{11}{4}\Rightarrow abc=\frac{11}{16}<1$ đã quá vô lý với đáp án của bạn

[dance]

Không hiểu bạn là học sinh lớp 10 mà vẫn nhầm ngớ ngẩn. 

Minh chỉ rõ 2 điều vô lý nhá. Với $a^2b^2c^2\leq 1\Rightarrow \left | abc \right |\leq 1\Rightarrow -1\leq abc\leq 1$ không bao giờ lại $abc\geq 1$

Mình cho bạn ví dụ với $a=b=\frac{1}{2},c=\frac{11}{4}\Rightarrow abc=\frac{11}{16}<1$ đã quá vô lý với đáp án của bạn

Ừ, bị nhầm .......

[lahantaithe99]

Cho $a,b,c>0;ab+bc+ca=3$ . Tìm $max$ $$P=\frac{1}{a^2+b^2+2}+\frac{1}{b^2+c^2+2}+\frac{1}{c^2+a^2+2}$$

 

Ta có $2P=\sum \frac{2}{a^2+b^2+2}=3-\sum \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2}$

 

Áp dụng BĐT S.Vac

 

$\sum \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2}\geqslant \frac{(\sum \sqrt{a^2+b^2})^2}{2(a^2+b^2+c^2+3)}=\frac{(a^2+b^2+c^2)+\sum \sqrt{(a^2+b^2)(b^2+c^2)}}{a^2+b^2+c^2+3}$

 

Ta sẽ chứng minh $\sum \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2}\geqslant \frac{3}{2}\Leftrightarrow \frac{(a^2+b^2+c^2)+\sum \sqrt{(a^2+b^2)(b^2+c^2)}}{a^2+b^2+c^2+3}\geqslant \frac{3}{2}$

 

$\Leftrightarrow 2\sum \sqrt{(a^2+b^2)(b^2+c^2)}\geqslant a^2+b^2+c^2+9$. BĐT này luôn đúng vì theo Bunhiacopxki thì

 

$2\sum \sqrt{(a^2+b^2)(b^2+c^2)}\geqslant 2\sum (b^2+ac)\geqslant a^2+b^2+c^2+3\sum ab=a^2+b^2+c^2+9$

 

Do đó $2P\leqslant 3-\frac{3}{2}\rightarrow P\leqslant \frac{3}{4}$

[Trang Luong]

 

Cách 2 : Ta có : $\left ( a^2+b^2+2 \right )\left ( c^2+2+\frac{(a+b+c)^2}{9} \right )\geq \left ( a+b+c+\frac{a+b+c}{3} \right )^2$ Theo BĐT Bunhiacopxiki

$\Rightarrow \frac{1}{a^2+b^2+2}=\frac{2+c^2+\left (\frac{a+b+c}{3} \right )^2}{(a^2+b^2+2)\left [2+c^2+\left (\frac{a+b+c}{3} \right )^2 \right ]}\leq \frac{2+c^2+\left (\frac{a+b+c}{3} \right )^2}{\left ( \frac{4a+4b+4c}{3} \right )^2}$

$\Rightarrow \sum \frac{1}{a^2+b^2+c^2}\leq \frac{6+a^2+b^2+c^2+\frac{(a+b+c)^2}{3}}{\frac{16(a+b+c)^2}{9}}=\frac{2(ab+bc+ac)+a^2+b^2+c^2+\frac{(a+b+c)^2}{3}}{\frac{16(a+b+c)^2}{9}}=\frac{\frac{4(a+b+c)^2}{3}}{\frac{16(a+b+c)^2}{9}}=\frac{3}{4}$

[firetiger05]

Ta có $2P=\sum \frac{2}{a^2+b^2+2}=3-\sum \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2}$

 

Áp dụng BĐT S.Vac

 

$\sum \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2}\geqslant \frac{(\sum \sqrt{a^2+b^2})^2}{2(a^2+b^2+c^2+3)}=\frac{(a^2+b^2+c^2)+\sum \sqrt{(a^2+b^2)(b^2+c^2)}}{a^2+b^2+c^2+3}$

 

Ta sẽ chứng minh $\sum \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2}\geqslant \frac{3}{2}\Leftrightarrow \frac{(a^2+b^2+c^2)+\sum \sqrt{(a^2+b^2)(b^2+c^2)}}{a^2+b^2+c^2+3}\geqslant \frac{3}{2}$

 

$\Leftrightarrow 2\sum \sqrt{(a^2+b^2)(b^2+c^2)}\geqslant a^2+b^2+c^2+9$. BĐT này luôn đúng vì theo Bunhiacopxki thì

 

$2\sum \sqrt{(a^2+b^2)(b^2+c^2)}\geqslant 2\sum (b^2+ac)\geqslant a^2+b^2+c^2+3\sum ab=a^2+b^2+c^2+9$

 

Do đó $2P\leqslant 3-\frac{3}{2}\rightarrow P\leqslant \frac{3}{4}$

Sao nghĩ ra được mấy cái đó ấy ?