Ở $ToPiC$ này mình xin giới thiệu cho các bạn một phương pháp rất quen thuộc và thông dụng trong chương trình lớp $10$ . Nó được áp dụng trong các kì thi $HSG$ . Và đặc biệt hơn nữa khi các bạn sử dụng thành thạo một phương pháp này nó như mang thêm cái đặc tính sáng tạo cho mỗi bản thân con người khi đến với thế giới toán học
Các định lí về tam giác ABC
Định lí $sin:$ $\frac{a}{sinA}= \frac{b}{sinB}= \frac{c}{sinC}=2R$ nên ta có:
$a=2R$ $sinB;b=2R$ $sinB;c=2R$ $sinC$
Định lí $cosin:$ $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc.cosA$ $,b^{2}=c^{2}+a^{2}-2ca.cosB$ $,c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab.cosC$
nên ta có: $cosA=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}:cosB=\frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2ac};cosC=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$
Định lí diện tích:
$S=\frac{1}{2}a.h_{a}=\frac{1}{2}ab.sinC=\frac{abc}{4R}=pr=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
Phân giác: $l_{A}=\frac{2bc.cos \frac{A}{2}}{b+c},$ trung tuyến $m^{2}_{a}=\frac{b^{2}+c^{2}}{2}- \frac{a^{2}}{4}$
Dạng tam giác:
- Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ khi $A=90^{\circ}$ hoặc $cosA=0$ hoặc $a^{2}=b^{2}+c^{2}$
- Tam giác $ABC$ cân tại $A$ khi $b=c$ hoặc góc $B=C$ hoặc $sinB=sinC$ hoặc $cosB=cosC$
- Tam giác $ABC$ đều khi $a=b=c$ hoặc góc $A=B=C$ hoặc $a=b$ và một góc bằng $60^{\circ}$
- Tam giác $ABC$ nhọn khi cả $3$ góc $A,B,C$ đề nhọn.
Góc $A$ nhọn $\Leftrightarrow a^{2}< b^{2}+c^{2},$ góc $A$ tù $\Leftrightarrow a^{2}> b^{2}+c^{2}$
Công thức lượng giác :
$cos(\alpha +\beta )=cos\alpha cos\beta -sin\alpha sin\beta ;cos(\alpha -\beta )=cos\alpha cos\beta +sin\alpha sin\beta$
$sin(\alpha +\beta )=sin\alpha cos\beta +cos\alpha sin\beta ;sin(\alpha -\beta )=sin\alpha cos\beta -cos\alpha sin\beta$
$tan(\alpha +\beta )=\frac{tan\alpha +tan\beta }{1-tan\alpha tan\beta };tan(\alpha -\beta )=\frac{tan\alpha -tan\beta }{1+tan\alpha tan\beta }$
$cos2\alpha =cos^{2}\alpha -sin^{2}\alpha =2cos^{2}\alpha -1=1-2sin^{2}\alpha$
$sin2\alpha =2sin\alpha cos\alpha ;tan2\alpha =\frac{2tan\alpha }{1-tan^{2}\alpha }$
$cos^{2}\alpha =\frac{1+cos2\alpha }{2};sin^{2}\alpha =\frac{1-cos2\alpha}{2}$
$cos\alpha +cos\beta =2cos\frac{\alpha +\beta }{2}cos\frac{\alpha -\beta }{2}$
$cos\alpha -cos\beta =-2sin\frac{\alpha +\beta }{2}sin\frac{\alpha +\beta }{2}$
$sin\alpha +sin\beta =2sin\frac{\alpha +\beta }{2}cos\frac{\alpha -\beta }{2}$
$sin\alpha -sin\beta =2cos\frac{\alpha +\beta }{2}sin\frac{\alpha -\beta }{2}$
$sin\alpha sin\beta =\frac{-1}{2}\left [ cos(\alpha +\beta ) +cos(\alpha -\beta )\right ]$
$cos\alpha sin\beta =\frac{1}{2}\left [ sin(\alpha +\beta )-sin(\alpha -\beta ) \right ]$
$tan\alpha +tan\beta =\frac{sin(\alpha +\beta )}{cos\alpha .cos\beta };tan\alpha -tan\beta =\frac{sin(\alpha -\beta )}{cos\alpha .cos\beta }$
$cot\alpha +cot\beta =\frac{cos(\alpha +\beta )}{sin\alpha .sin\beta };cot\alpha -cos\beta =\frac{cos(\beta -\alpha )}{sin\alpha .sin\beta }$
Phương pháp đánh giá:
-Phương pháp biến đổi tương đương
-Phương pháp nhóm và so sánh
-Phương pháp dùng bất đẳng thức cơ bản:
Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối:
$\left | a+b \right |\leq \left | a \right |+\left | b \right |$ với mọi $a,b$. Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow ab\geq 0.$
$\left | a-b \right |\leq \left | a \right |+\left | b \right |$ với mọi $a,b$. Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow ab\leq 0$
$\left | a-b \right |\geq \left | \left | a \right |-\left | b \right | \right |$ với mọi $a,b.$
Ngoài ra chúng ta có thể sử dụng các bất đẳng thức cơ bản như:
- Bất đẳng thức trung bình nhân và bất đẳng thức trung bình cộng.
$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$ với mọi $a,b$ không âm
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b$
$\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc}$ với mọi $a,b,c$ không âm .
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$
Bất đẳng thức $SvAc$ $($ đối với bất đẳng thức này chúng ta cần phải chứng minh chúng trước khi sử dụng )
vơi mọi số $a,b,c,d$ thì $(ac+bd)^{3} \leq \left ( a^{2}b^{2} \right )\left ( c^{2}+d^{2} \right )$
dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow ad=bc$
