Bài toán 58. Cho $d$ là đường thẳng không cắt $(O)$ và $M\in d$. Từ $M$ kẻ hai tiếp tuyến $MC, MB$ đến $(O)$ ($B,C\in (O)$). Gọi $A$ là hình chiếu của $O$ trên $d$. $E, F$ lần lược là hình chiếu của $A$ trên $MB, MC$. Chứng minh $EF$ luôn đi qua một điểm cố định khi $M$ thay đổi.
Gọi I,P lần lượt là giao điểm của OM , OA với CB
Hạ AK vuông góc với CB tại K
Do OCMB nội tiếp,OCMA nội tiếp nên CMAB nội tiếp
=>E,F,K thẳng hàng(đường thẳng Simson của tam giác CMB)
Ta có $\Delta OIP\sim \Delta OAM\rightarrow OI.OM=OP.OA $
$\rightarrow OP=\frac{OI.OM}{OA}=\frac{OC^2}{OA}=\frac{r^2}{OA} $ không đổi (do CI là đường cao của tam giác OCM vuông tại C)
=>P là điểm cố định
Gọi H là giao của FE với OA
Do EAKB nội tiếp nên $\widehat{EKA}=\widehat{EBA} $
Do OMAB nội tiếp nên $\widehat{MBA}=\widehat{MOA} $
=>$\widehat{EKA}=\widehat{MOA} $
Lại có $OM//AK \rightarrow \widehat{MOA}=\widehat{HAK} $
=>$\widehat{HAK}=\widehat{HKA} $
Mà tam giác PKA vuông tại K
Nên H là trung điểm PA=>H cố định
Vậy FE đi qua H cố định