Chủ đề này có 6 trả lời

[chardhdmovies]

cho $x,y,z\geq 0$ thỏa $x+y+z=1$

tìm GTLN của $P=\frac{x^2+1}{y^2+1}+\frac{y^2+1}{z^2+1}+\frac{z^2+1}{x^2+1}$

 

NTP

[Mikhail Leptchinski]

cho $x,y,z\geq 0$ thỏa $x+y+z=1$

tìm GTLN của $P=\frac{x^2+1}{y^2+1}+\frac{y^2+1}{z^2+1}+\frac{z^2+1}{x^2+1}$

 

NTP

Không mất tính tổng quát giả sử $x=max\left \{ x,y,z \right \}$.

Áp dụng kĩ thuật tách cô si ngược dấu có:

$\frac{x^2+1}{y^2+1}=x^2+1-\frac{y^2(x^2+1)}{(y^2+1)}\leq x^2+1-\frac{y^2(x^2+1)}{2}$

Tương tự có:$P\leq x^2+y^2+z^2+3-\frac{x^2(y^2+1)+y^2(z^2+1)+z^2(x^2+1)}{2}=\frac{x^2+y^2+z^2-(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)}{2}+3\leq \frac{x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)}{2}+3=\frac{7}{2}$

Dấu bằng xảy ra $x=1,y=z=0$ và các hoán vị!

 

Em không chắc cách này đúng mong các anh chị xem hộ bài!

[chardhdmovies]

Không mất tính tổng quát giả sử $x=max\left \{ x,y,z \right \}$.

Áp dụng kĩ thuật tách cô si ngược dấu có:

$\frac{x^2+1}{y^2+1}=x^2+1-\frac{y^2(x^2+1)}{{\color{Red} y^2+1}}\leq x^2+1-\frac{y^2(x^2+1)}{{\color{Red} 2}}$

Tương tự có:$P\leq x^2+y^2+z^2+3-\frac{x^2(y^2+1)+y^2(z^2+1)+z^2(x^2+1)}{2}=\frac{x^2+y^2+z^2-(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)}{2}+3\leq \frac{x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)}{2}+3=\frac{7}{2}$

Dấu bằng xảy ra $x=1,y=z=0$ và các hoán vị!

 

Em không chắc cách này đúng mong các anh chị xem hộ bài!

sao thiết lập được cả ba cái như vậy nhỉ nếu vậy dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1$ rồi

 

NTP

[Mikhail Leptchinski]

sao thiết lập được cả ba cái như vậy nhỉ nếu vậy dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1$ rồi

 

NTP

Cách này em làm nhầm

Đặt $a=x^2+1,b=y^2+1,c=z^2+1$

Từ giả thiết suy ra :$a,b,c\in \left [1;2 \right ]$

Bài toán trở thành tìm max:

$A=\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$

Không mất tính tổng quát giả sử $a\geq b\geq c=>(b-a)(b-c)\leq 0<=>\frac{a}{b}+\frac{b}{c}\leq \frac{a}{c}+1$

Do $a,b,c\in \left [ 1;2 \right ]<=>(2a-c)(2c-a)\geq 0<=>\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\leq \frac{5}{2}=>A\leq 1+\frac{5}{2}=\frac{7}{2}$

[Near Ryuzaki]

Không mất tính tổng quát giả sử $x=max\left \{ x,y,z \right \}$.
Áp dụng kĩ thuật tách cô si ngược dấu có:
$\frac{x^2+1}{y^2+1}=x^2+1-\frac{y^2(x^2+1)}{(y^2+1)}\leq x^2+1-\frac{y^2(x^2+1)}{2}$
Tương tự có:$P\leq x^2+y^2+z^2+3-\frac{x^2(y^2+1)+y^2(z^2+1)+z^2(x^2+1)}{2}=\frac{x^2+y^2+z^2-(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)}{2}+3\leq \frac{x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)}{2}+3=\frac{7}{2}$
Dấu bằng xảy ra $x=1,y=z=0$ và các hoán vị!
 
Em không chắc cách này đúng mong các anh chị xem hộ bài!

giờ anh mới xem đc lời giải của em, về ý tưởng giải bằng AM-GM của em khá hay, nhưng rất tiếc bị sai ở chỗ AM-GM cho 2 số $x^2$ và $1$ rồi đơn giản nhưng em chưa đơn giản $y$ ở tử số

[tap lam toan]

Theoi mình thì lời giải ban đầu của Mikhail Leptchinski là hoàn toàn chính xác

 

giờ anh mới xem đc lời giải của em, về ý tưởng giải bằng AM-GM của em khá hay, nhưng rất tiếc bị sai ở chỗ AM-GM cho 2 số $x^2$ và $1$ rồi đơn giản nhưng em chưa đơn giản $y$ ở tử số

 

sao thiết lập được cả ba cái như vậy nhỉ nếu vậy dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1$ rồi

 

NTP

Với điều kiện $x=max$ thì đẳng thức $x=1,y=z=0$, mình nghĩ là bạn ấy không hề sử dụng AM-GM gì cả mà chỉ dùng đánh giá hiển nhiên là $x,y,z \leq 1$, như vậy với cách tách $\dfrac{x^{2}+1}{y^{2}+1} = x^{2}+1-\dfrac{y^{2}(x^{2}+1)}{y^{2}+1}$ thì tử số xem như =0 nên việc cho $y \leq 1$ ở mẫu là đúng, tương tự đánh giá với $z$, còn $\dfrac{z^{2}+1}{x^{2}+1} = z^{2}+1-\dfrac{x^{2}(z^{2}+1)}{x^{2}+1}$ có tử số khác 0 nhưng đánh giá $x \leq 1$ là đúng vì đẳng thức xảy ra khi $x=1$
Các bạn có thể xem bài toán này cũng có dấu = tương tự 

[KietLW9]

cho $x,y,z\geq 0$ thỏa $x+y+z=1$

tìm GTLN của $P=\frac{x^2+1}{y^2+1}+\frac{y^2+1}{z^2+1}+\frac{z^2+1}{x^2+1}$

 

NTP

Giả sử x = max{x,y,z} thì $\frac{1}{3}\leqslant x\leqslant 1$  

Ta xét bất đẳng thức: $\frac{y^2+1}{z^2+1}+\frac{z^2+1}{x^2+1}\leqslant (y+z)^2+1+\frac{1}{x^2+1}$ 

Nó tương đương với: $\frac{z(x^2z^3+2x^2yz^2+2yz^2+x^2y^2z+y^2z+2x^2z+z+2x^2y+2y)}{(x^2+1)(z^2+1)}\geqslant 0$ 

và $\frac{x^2+1}{y^2+1}\leqslant x^2+1$ 

Suy ra $VT\leqslant x^2+(y+z)^2 + \frac{1}{x^2+1}+2\leqslant \frac{7}{2}\Leftrightarrow \frac{(1-x)(1-3x-4x^3)}{2(x^2+1)}\leqslant 0$   *đúng*

Đẳng thức xảy ra khi có 2 số bằng 0 và 1 số bằng 1