Đến nội dung


Hình ảnh

phương trình $9x^{3}-36x^{2}+45x-17=0$ có ba nghiệm thực phân biệt chọn làm độ dài ba cạnh của một tam giác có một góc tù.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 caybutbixanh

caybutbixanh

    Trung úy

  • Thành viên
  • 888 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 21-09-2014 - 23:49

Bài toán : Chứng minh rằng phương trình $9x^{3}-36x^{2}+45x-17=0$ có ba nghiệm thực phân biệt chọn làm độ dài ba cạnh của một tam giác có một góc tù.


KẺ MẠNH CHƯA CHẮC ĐÃ THẮNG



MÀ KẺ THẮNG MỚI CHÍNH LÀ KẺ MẠNH!.



(FRANZ BECKEN BAUER)




ÔN THI MÔN HÓA HỌC TẠI ĐÂY.


#2 hoctrocuaZel

hoctrocuaZel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1162 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lớp lang tận cùng!
  • Sở thích::( :3

Đã gửi 22-09-2014 - 10:59

Bài toán : Chứng minh rằng phương trình $9x^{3}-36x^{2}+45x-17=0$ có ba nghiệm thực phân biệt chọn làm độ dài ba cạnh của một tam giác có một góc tù.

Anh dùng Cacnado tìm được 3 nghiệm, cụ thể xem: http://www.wolframal...-36x^2+45x-17=0

Lúc này phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

Để ý rằng: Tam giác ABC có góc A tù khi: $AB^2+AC^2<BC^2$

Khi đó: $x_3^2-x_1^2-x_2^2\approx \frac{79}{100}>0$

Vậy tam giác có 1 góc tù!!!!

P/s: 

1/ Lời giải chưa thực sự chính xác, vì con số ở đây là gần bằng

2/ Anh có thể dùng định lí Viéte trong phương trình bậc 3 để chứng minh bình phương 1 nghiệm > tổng bp 2 nghiệm còn lại. :D


Hướng TH Phan
$(1)$ Lòng như mây trắng
$(2)$: Forever Young
$(3)$: You are the apple of my eye
Người ta thường nói tuổi thanh xuân như một cơn mưa rào, nếu bị ướt một lần thì bạn vẫn mong muốn thêm 1 lần nữa ...
#hoctrocuaZel
:(

#3 Kool LL

Kool LL

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 370 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tp.HCM

Đã gửi 22-09-2014 - 23:32

Bài toán : Chứng minh rằng phương trình $9x^{3}-36x^{2}+45x-17=0$ có ba nghiệm thực phân biệt chọn làm độ dài ba cạnh của một tam giác có một góc tù.

 

Xét $f(x)=9x^3-36x^2+45x-17$ trên $\mathbb{R}$

$f'(x)=27x^2-72x+45$   ;   $f'(x)=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}\ x=1\rightarrow y=1\text{ (C Đ)} \\ x=\frac{5}{3}\rightarrow y=\frac{-1}{3}\text{ (CT)}\end{array}\right.$

Untitled.png

$f(0)=-17<0$  ;  $f(\sqrt{3})=72\sqrt{3}-125<0$

Dựa vào BBT của hàm $f$ ta có NX : $f(0).f(1)<0$  ;   $f(1).f(\sqrt{3})<0$   ;   $f(\sqrt{3}).f(2)<0$.

Suy ra pt $f(x)=0$ luôn có 3 nghiệm p.b $a,b,c$ thoả $0<c<1<b<\sqrt{3}<a<2$.

 

Đinh lí Viét bậc 3 : $\begin{cases}a+b+c=4 \\ ab+bc+ca=5 \\ abc=17\end{cases}$

 

Do đó $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác có góc tù $\Leftrightarrow\begin{cases}b^2+c^2<a^2\\b+c>a\end{cases}$ $\Leftrightarrow\begin{cases}2a^2>a^2+b^2+c^2=4^2-2.5=6 \\ 2a<a+b+c=4\end{cases}$ $\Leftrightarrow \sqrt{3}<a<2$ (đúng).

 

Vậy ta có (đpcm).


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kool LL: 22-09-2014 - 23:39





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh