Đến nội dung


Hình ảnh

Chứng minh $b <\frac{-1}{4}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 caybutbixanh

caybutbixanh

    Trung úy

  • Thành viên
  • 888 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 22-09-2014 - 23:58

Bài toán : Cho tam thức bậc hai $f(x)=x^{2}+ax+b.$ Biết phương trình $f(f(x))=0$ có bốn nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ thỏa mãn $x_{1}+x_{2}=-1.$ Chứng minh $b <\frac{-1}{4}$


KẺ MẠNH CHƯA CHẮC ĐÃ THẮNG



MÀ KẺ THẮNG MỚI CHÍNH LÀ KẺ MẠNH!.



(FRANZ BECKEN BAUER)




ÔN THI MÔN HÓA HỌC TẠI ĐÂY.


#2 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2040 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 28-09-2014 - 17:28

Bài toán : Cho tam thức bậc hai $f(x)=x^{2}+ax+b.$ Biết phương trình $f(f(x))=0$ có bốn nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ thỏa mãn $x_{1}+x_{2}=-1.$ Chứng minh $b <\frac{-1}{4}$

Đề bài cần bổ sung dữ kiện $x_{1}< x_{2}< x_{3}< x_{4}$

$x_{1}+x_{2}=-1$ và $x_{1}< x_{2}\Rightarrow x_{1}< -\frac{1}{2}$

Phương trình $f(f(x))=0$ có thể viết như sau : $y^2+ay+b=0$ (1) 

Trong đó $y=x^2+ax+b$

Giả sử (1) có $2$ nghiệm phân biệt là $y_{1}=\alpha$ và $y_{2}=\beta$

Và các pt $x^2+ax+(b-\alpha)=0$ (2) và $x^2+ax+(b-\beta)=0$ (3) đều có 2 nghiệm phân biệt (trong đó $x_{1}$ là nghiệm của (2))

Theo định lý Viete, tổng 2 nghiệm của pt (2) bằng tổng 2 nghiệm của pt (3) và bằng $-a$

Như vậy $x_{1}$ và $x_{4}$ là nghiệm của (2) ; $x_{2}$ và $x_{3}$ là nghiệm của (3).

Ta có :

$x_{2}=-1-x_{1}=-(x_{1}+1)$

$x_{3}=-a+x_{1}+1$

$x_{4}=-a-x_{1}=-(a+x_{1})$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}b-\alpha =-(a+x_{1})x_{1}\\b-\beta =-(x_{1}+1)(x_{1}+1-a)\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \alpha -\beta =2ax_{1}-2x_{1}+a-1$ (4)

Mặt khác $\alpha +\beta =-a$ (5)

(4),(5) $\Rightarrow \alpha =\frac{2ax_{1}-2x_{1}-1}{2}$

$\Rightarrow b=\alpha -(a+x_{1})x_{1}=\frac{-2x_{1}^{2}-2x_{1}-1}{2}=-\left ( x_{1}^{2}+x_{1}+\frac{1}{4} \right )-\frac{1}{4}=-\left ( x_{1}+\frac{1}{2} \right )^2-\frac{1}{4}< -\frac{1}{4}$ (vì $x_{1}< -\frac{1}{2}$)

Vậy ta có $b< -\frac{1}{4}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 28-09-2014 - 19:06

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh