Tìm a,n để \[A = \frac{{{{\left( {a + 1} \right)}^n} - {a^n}}}{n}\] là số nguyên
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamxuanvinh08101997: 23-09-2014 - 17:09
Tìm a,n để \[A = \frac{{{{\left( {a + 1} \right)}^n} - {a^n}}}{n}\] là số nguyên
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamxuanvinh08101997: 23-09-2014 - 17:09
Đã đọc bài thì đừng tiếc gì nút Like
Không ngừng vươn xa
Xét TH a,n nguyên dương ( TH còn lại không biết làm )
dễ thấy n phải lẻ
xét n=1, thì mọi a đều đúng
với $n\geq 3$
gọi p là một ước nguyên tố lẻ của n
$(a+1)^{n}\equiv a^{n}(mod p)$
$a+1\equiv a(modp)$ ( do n lẻ)
suy ra p / 1 (!!!)
vậy n=1
mọi a nguyên dương
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tohoproirac: 11-10-2014 - 22:59
<3 Mãi mãi một tình yêu <3
赵薇苏有朋
Xét TH a,n nguyên dương ( TH còn lại không biết làm )
dễ thấy n phải lẻ
xét n=1, thì mọi a đều đúng
với $n\geq 3$
gọi p là một ước nguyên tố lẻ của n
$(a+1)^{n}\equiv a^{n}(mod p)$
$a+1\equiv a(modp)$ ( do n lẻ)
suy ra p / 1 (!!!)
vậy n=1
mọi a nguyên dương
TH này mình làm được rồi nhưng đây là (a,n) nguyên nên vẫn chưa giải quyết đc bài toán . Theo mình nghĩ đề bài này có vấn đề
Đã đọc bài thì đừng tiếc gì nút Like
Không ngừng vươn xa
Tìm a,n để \[A = \frac{{{{\left( {a + 1} \right)}^n} - {a^n}}}{n}\] là số nguyên
$\blacksquare$ với $n=1$ thì thỏa
$\blacksquare$ với $n\geq 2$
gọi $p$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $n$
ta có $(a+1)^n-a^n\vdots p\Rightarrow (n,p)=1$
do đó tồn tại $b$ sao cho $ab\equiv 1(modp)$
ta có $(a+1)^n\equiv a^n(modp)\Rightarrow \left ( (a+1)b \right )^n\equiv 1(modp)$
do đó $n\vdots d$ với $d=ord_p(ab+b)$
mà ta có $\left ( (a+1)b \right )^{p-1}\equiv 1(modp)\Rightarrow p-1\vdots d\Rightarrow gcd(d,n)=1\Rightarrow d=1\Rightarrow a+1\equiv a(modp)$
điều này mẫu thuẫn
vậy $\boxed{n=1}$
P/s:chép sách ra
NTP
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chardhdmovies: 01-11-2014 - 19:18
chúng tôi là 3 người từ lớp 10 cá tính:NRC,NTP,A-Q
$\blacksquare$ với $n=1$ thì thỏa
$\blacksquare$ với $n\geq 2$
gọi $p$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $n$
ta có $(a+1)^n-a^n\vdots p\Rightarrow (n,p)=1$
do đó tồn tại $b$ sao cho $ab\equiv 1(modp)$
ta có $(a+1)^n\equiv a^n(modp)\Rightarrow \left ( (a+1)b \right )^n\equiv 1(modp)$
do đó $n\vdots d$ với $d=ord_p(ab+b)$
mà ta có $\left ( (a+1)b \right )^{p-1}\equiv 1(modp)\Rightarrow p-1\vdots d\Rightarrow gcd(d,n)=1\Rightarrow d=1\Rightarrow a+1\equiv a(modp)$
điều này mẫu thuẫn
vậy $\boxed{n=1}$
P/s:chép sách ra
NTP
Không hiểu mấy, phần mod này học từ hồi lớp 6 giờ quên hết rồi.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phan huong: 01-11-2014 - 19:23
Không hiểu mấy, phần mod này học từ hồi lớp 6 giờ quên hết rồi.
Lớp 6 chủ yếu là lấy phần dư ,chứ khái niệm này lên cấp 3 mở rộng hơn nhiều
Đã đọc bài thì đừng tiếc gì nút Like
Không ngừng vươn xa
Bài này triển khai (a+1)^n ra thì ra luôn 1 chia hết cho n.Vấn đề là bạn ra đề không nói là a,n là số nguyên dương
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh