Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm n để \[A = \frac{{{{\left( {a + 1} \right)}^n} - {a^n}}}{n}\] là số nguyên

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1
phamxuanvinh08101997

phamxuanvinh08101997

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 141 Bài viết

Tìm a,n để \[A = \frac{{{{\left( {a + 1} \right)}^n} - {a^n}}}{n}\] là số nguyên


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamxuanvinh08101997: 23-09-2014 - 17:09

                   :ukliam2: Đã đọc bài thì đừng tiếc gì nút Like :ukliam2:

 

:ukliam2: Không ngừng vươn xa :ukliam2:


#2
tohoproirac

tohoproirac

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 92 Bài viết

Xét TH a,n nguyên dương ( TH còn lại không biết làm  :icon6: )

dễ thấy n phải lẻ 

xét n=1, thì mọi a đều đúng

với $n\geq 3$

gọi p là một ước nguyên tố lẻ của n

$(a+1)^{n}\equiv a^{n}(mod p)$

$a+1\equiv a(modp)$ ( do n lẻ)

suy ra p / 1 (!!!)

vậy n=1

mọi a nguyên dương


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tohoproirac: 11-10-2014 - 22:59

<3 Mãi mãi một tình yêu <3

:wub: bruce_h4h.gif

赵薇苏有朋


#3
phamxuanvinh08101997

phamxuanvinh08101997

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 141 Bài viết

Xét TH a,n nguyên dương ( TH còn lại không biết làm  :icon6: )

dễ thấy n phải lẻ 

xét n=1, thì mọi a đều đúng

với $n\geq 3$

gọi p là một ước nguyên tố lẻ của n

$(a+1)^{n}\equiv a^{n}(mod p)$

$a+1\equiv a(modp)$ ( do n lẻ)

suy ra p / 1 (!!!)

vậy n=1

mọi a nguyên dương

TH này mình làm được rồi nhưng đây là (a,n) nguyên nên vẫn chưa giải quyết đc bài toán . Theo mình nghĩ đề bài này có vấn đề


                   :ukliam2: Đã đọc bài thì đừng tiếc gì nút Like :ukliam2:

 

:ukliam2: Không ngừng vươn xa :ukliam2:


#4
duongminhtrung

duongminhtrung

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 28 Bài viết
Mình nghĩ đề bài như thế này thì a,n đều nguyên dương chứ nhỉ

#5
chardhdmovies

chardhdmovies

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 638 Bài viết

Tìm a,n để \[A = \frac{{{{\left( {a + 1} \right)}^n} - {a^n}}}{n}\] là số nguyên

$\blacksquare$ với $n=1$ thì thỏa

$\blacksquare$ với $n\geq 2$

gọi $p$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $n$

ta có $(a+1)^n-a^n\vdots p\Rightarrow (n,p)=1$

do đó tồn tại $b$ sao cho $ab\equiv 1(modp)$

ta có $(a+1)^n\equiv a^n(modp)\Rightarrow \left ( (a+1)b \right )^n\equiv 1(modp)$

do đó $n\vdots d$ với $d=ord_p(ab+b)$

mà ta có $\left ( (a+1)b \right )^{p-1}\equiv 1(modp)\Rightarrow p-1\vdots d\Rightarrow gcd(d,n)=1\Rightarrow d=1\Rightarrow a+1\equiv a(modp)$

điều này mẫu thuẫn

vậy $\boxed{n=1}$

P/s:chép sách ra

 

NTP


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chardhdmovies: 01-11-2014 - 19:18

                                                                                    chúng tôi là 3 người từ lớp 10 cá tính:NRC,NTP,A-Q


#6
phan huong

phan huong

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 234 Bài viết

$\blacksquare$ với $n=1$ thì thỏa

$\blacksquare$ với $n\geq 2$

gọi $p$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $n$

ta có $(a+1)^n-a^n\vdots p\Rightarrow (n,p)=1$

do đó tồn tại $b$ sao cho $ab\equiv 1(modp)$

ta có $(a+1)^n\equiv a^n(modp)\Rightarrow \left ( (a+1)b \right )^n\equiv 1(modp)$

do đó $n\vdots d$ với $d=ord_p(ab+b)$

mà ta có $\left ( (a+1)b \right )^{p-1}\equiv 1(modp)\Rightarrow p-1\vdots d\Rightarrow gcd(d,n)=1\Rightarrow d=1\Rightarrow a+1\equiv a(modp)$

điều này mẫu thuẫn

vậy $\boxed{n=1}$

P/s:chép sách ra

 

NTP

Không hiểu mấy, phần mod này học từ hồi lớp 6 giờ quên hết rồi.:(


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phan huong: 01-11-2014 - 19:23


#7
phamxuanvinh08101997

phamxuanvinh08101997

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 141 Bài viết

Không hiểu mấy, phần mod này học từ hồi lớp 6 giờ quên hết rồi. :(

Lớp 6 chủ yếu là lấy phần dư ,chứ khái niệm này lên cấp 3 mở rộng hơn nhiều


                   :ukliam2: Đã đọc bài thì đừng tiếc gì nút Like :ukliam2:

 

:ukliam2: Không ngừng vươn xa :ukliam2:


#8
duongminhtrung

duongminhtrung

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 28 Bài viết

Bài này triển khai (a+1)^n ra thì ra luôn 1 chia hết cho n.Vấn đề là bạn ra đề không nói là a,n là số nguyên dương






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh