Cho $a, b, c$ là 3 số thực bất kì. Chứng minh rằng:
$\sqrt{(a-b)^{2}+c^{2}}+\sqrt{(a+b)^{2}+c^{2}}\geq 2\sqrt{a^{2}+c^{2}}$
#2
Đã gửi 23-09-2014 - 20:13
thuan192
-
- Thành viên
-
- 325 Bài viết
Sĩ quan
Cho $a, b, c$ là 3 số thực bất kì. Chứng minh rằng:
$\sqrt{(a-b)^{2}+c^{2}}+\sqrt{(a+b)^{2}+c^{2}}\geq 2\sqrt{a^{2}+c^{2}}$
Bổ đề: Với $a,b,c,d$ là các số thực ta luôn có: $\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{c^{2}+d^{2}}\geq \sqrt{\left ( a+c \right )^{2}+\left ( b+d \right )^{2}}$
Dấu = xảy ra khi $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$
(bổ đề này ta có thể cm bằng phép biến đổi tương đương)
Trở lại bài toán : Áp dụng bổ đề vào bài toán ta có:
$\sqrt{\left ( a-b \right )^{2}+c^{2}}+\sqrt{\left ( a+b \right )^{2}+c^{2}}\geq \sqrt{\left ( a-b+a+b \right )^{2}+\left ( c+c \right )^{2}}=2\sqrt{a^{2}+c^{2}}$
Dấu = xảy ra khi $b=0$ $a,c$ bất kỳ
- sheep9 yêu thích
Thuận
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hệ trục tọa độ, toán 10
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
