Đến nội dung


Hình ảnh

Đề chọn đội tuyển trường THPT chuyên KHTN

chọn đội tuyển

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1573 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Université de Rennes 1
  • Sở thích:Motivic cohomology and the theory of motives

Đã gửi 27-09-2014 - 13:10

                                                        Đề thi chọn học sinh giỏi năm học $2014-2015$

                                                Môn toán : vòng $1$ ngày thứ nhất $27-09-2014$

                                                 Thời gian :$210$ phút 

Câu $1$ : Tìm tất cả đa thức hệ số thực $P(x)$ thỏa mãn

                                                  $P(x^{3})+x(P(x))^{2}=(P(x))^{3}+xP(x^{2})$ với mọi $x \in R$

Câu $2$ : Cho $n$ là số nguyên dương . Chứng minh rằng tồn tại số $m$ thỏa $2^{m} \equiv 2015(mod3^{n})$ và $2^{m} \equiv 3^{2015}(mod5^{n})$

Câu $3$: Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$ cố định và $B,C$ cố định và $A$ di chuyển trên cung lớn $BC$ . Đường tròn $(I)$ nội tiếp lần lượt tiếp xúc $CA$ và $AB$ ở $E,F$ . $IB , IC$ cắt $(O)$ tại $M,N$ khác $B,C$ . Gọi $S,T$ là tâm ngoại tiếp $IFN$ và $IEM$ . Lấy $P\in ST$ sao cho $IP || BC$ . Gọi đường thẳng qua $A$ vuông góc $IA$ cắt $(O)$ ở $K$ khác $A$ . Gọi $IK$ cắt $(O)$ tại $L$ khác $K$ . $J$ là trung điểm $OI$ . Lấy $Q$ thuộc $JL$ sao cho $PQ = PI$ . Chứng minh $IQ$ luôn đi qua một điểm cố định khi $A$ di chuyển .

Câu $4$ : Cho tập $S$ có $2015$ phần tử . Với mỗi số $n \leq 2^{2015}$ xét $n$ tập con $A_{i}$ phân biệt của $S$ . Đặt $B_{i} = S - A_{i}$ là phần bù của $A_{i}$ trong $S$ . Với $1\leq i \leq n$ được đánh dấu một trong hai tập $A_{i},B_{I}$ . Tìm $n$ nhỏ nhất để mọi cách chọn thì đều có một cách đánh dấu sao cho hợp của các tập được đánh dấu là $S$.

 

Đã được đăng ở đây 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 27-09-2014 - 13:17

Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.


#2 quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 632 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 11-01-2015 - 12:55

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 11+12 VÒNG 1 NĂM HỌC 2014-2015 TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN

 

Ngày thi thứ hai

 

Câu 1. Cho hai dãy $(x_n) , (y_n)$ thỏa mãn $x_0 = 1 , y_0 = 0$ và $x_n = 3x_{n-1}+4y_{n-1}$ và $y_n = 2x_{n-1}+3y_{n-1}$. Tìm số dư của phép chia $x_{2014}^2$ cho $y_{2015}$.

 

Câu 2. Cho $a\ge 0$ và $b,c>0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

 

$$P= \sqrt[5]{\dfrac{abc}{b+c}} + \sqrt[5]{\dfrac{b}{c(1+ab)}} + \sqrt[5]{\dfrac{c}{b(1+ac)}}.$$

 

Câu 3. Cho tứ giác lồi $ABCD$ nội tiếp. $M,N$ lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng $CD,AB$. $P$ là điểm thuộc đoạn thẳng $CD$ sao cho $\dfrac{PD}{PC}=\dfrac{BD^2}{AC^2}$. $AC$ giao $BD$ tại $E$. $H$ là hình chiếu vuông góc của $E$ lên $PN$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $HMP$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $EDC$ tiếp xúc nhau.

 

Câu 4. Cho $n$-giác đều với $n\ge 6$. Một đường thẳng gọi là tốt nếu nó đi qua miền trong đa giác. Cho $m$ đường thẳng tốt cắt nhau tạo thành các đa giác con trong đa giác đã cho. Tìm $m$ bé nhất sao cho mọi cách kẻ mọi $m$ đường thẳng tốt tồn tại duy nhất đa giác con là tam hoặc tứ giác.



#3 quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 632 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 11-01-2015 - 12:57

Lời giải các câu hình học vòng 1

 

Ngày 1 http://analgeomatica...nd-1-day-1.html

 

Ngày 2 http://analgeomatica...-problem-1.html







1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh