Đến nội dung

Hình ảnh

Cho a,b,c dương. CMR: $\frac{a}{(b+c)^2}+\frac{b}{(c+a)^2}+\frac{c}{(a+b)^2} \geq \frac{9}{4(a+b+c)}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
zzhanamjchjzz

zzhanamjchjzz

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 176 Bài viết

Cho a,b,c dương. CMR:  
    $\frac{a}{(b+c)^2}+\frac{b}{(c+a)^2}+\frac{c}{(a+b)^2} \geq \frac{9}{4(a+b+c)}$



#2
NgocHieuKHTN

NgocHieuKHTN

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 44 Bài viết

Áp Dụng BĐT CauChy-Shwart 

ta có : $\frac{a}{(b+c)^{2}}+\frac{b}{(c+a)^{2}}+\frac{c}{(a+b^{2})}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{\sum a(b+c)^{2}}=\frac{(a+b+c)^{2}}{ab^{2}+ac^{2}+bc^{2}+ba^{2}+ca^{2}+cb^{2}+2abc+4abc}=\frac{(a+b+c)^{2}}{(a+b)(b+c)(c+a)+4abc}$

tới đây ta áp dụng AM-GM ta được 

$VT\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{\frac{(2a+2b+2c)^{3}}{27}+\frac{4(a+b+c)^{3}}{27.}}$

rút gọn ta được VP 

dấu bằng xảy ra khi a=b=c

 

Đúng thì xin cái like !! hihi 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NgocHieuKHTN: 27-09-2014 - 16:53


#3
quangnghia

quangnghia

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 397 Bài viết

Cho a,b,c dương. CMR:  
    $\frac{a}{(b+c)^2}+\frac{b}{(c+a)^2}+\frac{c}{(a+b)^2} \geq \frac{9}{4(a+b+c)}$

Bài này mình sẽ sữ dụng C-s để chứng minh, nhưng ở mức THCS, nên mình sẽ chứng minh lại bất đẳng thức C-S

Với mọi a,b,c,d,e,f thì $(a+b+c)(d+e+f)\geq (\sqrt{ad}+\sqrt{be}+\sqrt{cf})^{2}$

Ta có $\frac{a}{a+b+c}+\frac{d}{d+e+f}\geq 2\sqrt{\frac{ad}{(a+b+c)(d+e+f)}}$

 $\frac{b}{a+b+c}+\frac{e}{d+e+f}\geq 2\sqrt{\frac{be}{(a+b+c)(d+e+f)}}$

 $\frac{c}{a+b+c}+\frac{f}{d+e+f}\geq 2\sqrt{\frac{cf}{(a+b+c)(d+e+f)}}$

Cộng theo vế ta được

$2\geq 2(\frac{\sqrt{ad}+\sqrt{be}+\sqrt{cf}}{\sqrt{(a+b+c)(d+e+f)}})$

$(a+b+c)(d+e+f)\geq (\sqrt{ad}+\sqrt{be}+\sqrt{cf})^{2}$

Trở lại bài toán 

Ta có $(a+b+c)(\frac{a}{(b+c)^{2}}+\frac{b}{(c+a)^{2}}+\frac{c}{(a+b)^{2}})\geq (\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})^{2}$

$\Rightarrow \frac{a}{(b+c)^{2}}+\frac{b}{(c+a)^{2}}+\frac{c}{(a+b)^{2}}\geq \frac{9}{4(a+b+c)}(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})^{2}$

Ta sẽ chứng minh $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{c+a}+1+\frac{c}{a+b}+1\frac{9}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}+\frac{a+b+c}{a+b}\frac{9}{2}$

$\Rightarrow 2(a+b+c)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})\geq 9$

Đặt $a=x+y, b=y+z, c=z+x$

$\Rightarrow (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 9$

Ta có $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 3\sqrt[3]{abc}3\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}\geq 9$

Bài toán kết thúc


Thầy giáo tương lai

#4
lahantaithe99

lahantaithe99

    Trung úy

  • Thành viên
  • 883 Bài viết

Cho a,b,c dương. CMR:  
    $\frac{a}{(b+c)^2}+\frac{b}{(c+a)^2}+\frac{c}{(a+b)^2} \geq \frac{9}{4(a+b+c)}$

 

Áp dụng BĐT BCS dạng cộng mẫu kết hợp BĐT Nesbit có

 

$(a+b+c)\left [ \frac{a}{(b+c)^2}+\frac{b}{(c+a)^2}+\frac{c}{(a+b)^2} \right ]\geqslant (\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})^2\geqslant \frac{9}{4}$

 

$\rightarrow \sum \frac{a}{(b+c)^2}\geqslant \frac{9}{4(a+b+c)}$ (đpcm)



#5
zzhanamjchjzz

zzhanamjchjzz

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 176 Bài viết

Áp dụng BĐT BCS dạng cộng mẫu kết hợp BĐT Nesbit có

 

$(a+b+c)\left [ \frac{a}{(b+c)^2}+\frac{b}{(c+a)^2}+\frac{c}{(a+b)^2} \right ]\geqslant (\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})^2\geqslant \frac{9}{4}$

 

$\rightarrow \sum \frac{a}{(b+c)^2}\geqslant \frac{9}{4(a+b+c)}$ (đpcm)

Cách này coi bộ ngon nhỉ ^^



#6
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

Chuẩn hóa $a+b+c=3$

 

$\sum \dfrac{a}{(b+c)^2} \geqslant \dfrac{9}{4\sum a} \Leftrightarrow \sum \dfrac{a}{(a-3)^2} \geqslant \dfrac{3}{4}$

 

Điều này luôn đúng vì $\dfrac{x}{(x-3)^2} \geqslant \dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{4}\;\;\;\;\forall x \in (0;3)$


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#7
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Cho a,b,c dương. CMR:  
    $\frac{a}{(b+c)^2}+\frac{b}{(c+a)^2}+\frac{c}{(a+b)^2} \geq \frac{9}{4(a+b+c)}$

Áp dụng Cô-si, ta có: $$a(b+c)^2+b(c+a)^2+c(a+b)^2=\frac{1}{2}.2a(b+c)(b+c)+\frac{1}{2}.2b(c+a)(c+a)+\frac{1}{2}.2c(a+b)(a+b)\leqslant\frac{1}{2}.\frac{8(a+b+c)^3}{27}+ \frac{1}{2}.\frac{8(a+b+c)^3}{27}+\frac{1}{2}.\frac{8(a+b+c)^3}{27}=\frac{4}{9}(a+b+c)^3$$

 

$\Rightarrow \sum_{cyc}\frac{a}{(b+c)^2}= \sum_{cyc}\frac{a^2}{a(b+c)^2}\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{\sum_{cyc}a(b+c)^2} \geqslant \frac{(a+b+c)^2}{\frac{4}{9}(a+b+c)^3} =\frac{9}{4(a+b+c)}$

Đẳng thức xảy ra khi $a = b = c $


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh