Chủ đề này có 2 trả lời

[Zeaynzs]

Cho $a,b,c >0$ và $a+b+c\leq \frac{3}{2}$ 

Tìm GTNN của $\sqrt{a^{2}+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{b^{2}+\frac{1}{c^2}}+\sqrt{c^{2}+\frac{1}{a^2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mikhail Leptchinski: 09-10-2014 - 23:08

[hoctrocuaZel]

Cho $a,b,c >0$ và $a+b+c\leq \frac{3}{2}$ 

Tìm GTNN của $\sqrt{a^{2}+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{b^{2}+\frac{1}{c^2}}+\sqrt{c^{2}+\frac{1}{a^2}}$

Theo BĐT Minicopski, có:

$VT\geq \sqrt{(a+b+c)^2+(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2}\geq \sqrt{(a+b+c)^2+\frac{81}{(a+b+c)^2}}=\sqrt{(a+b+c)^2+\frac{81}{16(a+b+c)^2}+\frac{1215}{16(a+b+c)^2}}\geq \sqrt{2.\frac{9}{4}+\frac{135}{4}}=\frac{3.\sqrt{17}}{2}$

Dấu bằng: $a=b=c=\frac{1}{2}$

[quangnghia]

Cho $a,b,c >0$ và $a+b+c\leq \frac{3}{2}$ 

Tìm GTNN của $\sqrt{a^{2}+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{b^{2}+\frac{1}{c^2}}+\sqrt{c^{2}+\frac{1}{a^2}}$

Cảm giác dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{2}$ nên ta có đánh giá sau

$(\frac{1}{4}+4)(a^{2}+\frac{1}{b^{2}})\geq (\frac{a}{2}+\frac{2}{b})^{2}$

$\Leftrightarrow (2a-\frac{1}{2b})^{2}\geq 0$

Vậy $\sum \sqrt{a^{2}+\frac{1}{b^{2}}}\geq \frac{2}{\sqrt{17}}(\frac{a+b+c}{2}+\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c})\geq \frac{2}{\sqrt{17}}(\frac{a+b+c}{2}+\frac{18}{a+b+c})\geq \frac{2}{\sqrt{17}}(\frac{a+b+c}{2}+\frac{9}{8(a+b+c)}+\frac{135}{8(a+b+c)})\geq \frac{2}{\sqrt{17}}(\frac{3}{2}+\frac{135}{8.\frac{3}{2}})\geq \frac{3}{2}\sqrt{17}$

Ở bài này mình có sữ dụng bổ đề $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}$

bổ đề này có thể chứng minh dễ dàng ở mức THCS bằng chứng minh tương đương