Mọi người trợ giúp mình những bài này, sắp thi rồi mà vẫn không biết làm mấy
1. Chứng minh: [A,BCD] = [A,B]CD + B[A.C]D + BC[A,D]
2. Chứng minh: [A, $\prod_{i=1}^{n}A_{i}$] = $\sum_{i=1}^{n}A_{1}...A_{n-1}[A,A_{i}]A_{i+1}...A_{n}$
3. Khai triển các toán tử:
a. $\left ( \frac{d}{dx}+x \right )^{2}$ b. $\left ( x\frac{d}{dx} \right )^{2}$ c. $\left ( \frac{d}{dx}x \right )^{2}$ d. $\left ( \frac{d}{dx}+\frac{1}{x} \right )^{2}$
4. Chứng minh: $[\frac{\partial }{\partial x},x^{n}]=nx^{n-1}$
Tổng quát: Nếu [A,B] = 1 => $[A,B^{n}]=nB^{n-1}$
5. Cho hai toán tử $\widehat{A},\widehat{B}$ thỏa mãn: $[\widehat{A},\widehat{B}]=1$. Tính $[f(\widehat{A}),\widehat{B}]$
6. Chứng minh: $\widehat{A}f(\widehat{B})\widehat{A}^{-1}=f(\widehat{A}\widehat{B}\widehat{A}^{-1})$
với f(x) là hàm khả vi liên tục vô hạn lần.
7. $\widehat{C}$ là toán tử liên hợp phức. Hỏi:
a. $\widehat{C}$ có là toán tử tuyến tính không?
b. $\widehat{C}$ có là toán tử tự liên hợp không?
8. Tìm toán tử liên hợp Hermitian với các toán tử: $\frac{d}{dx}, \frac{d^{n}}{dx^{n}}, e^{i\alpha \frac{\partial }{\partial x}}$
9. a. Chỉ ra ví dụ về 1 dãy Cauchuy trong Q nhưng không hộ tụ về Q.
b. Chứng minh mọi dãy hội tụ đều là dãy Cauchuy.
10. Bằng phương pháp Gram-Schmidt, tìm lại một số đa thức ban đầu của hệ đa thức Legendre, Hermite, Tchebychef từ hệ đơn thức ${1,x,x^{2},x^{3}...}$
11. Tính tíhc phân: $F(s,t)=\int_{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}e^{2sx-s^{2}}e^{2tx-t^{2}}dx$
Và khai triển kết quả như là chuối kép theo s và t
Bằng cách khảo sát hệ số của $s^{n}t^{m}$ , chỉ ra rằng: $\int_{-\infty }^{+\infty }H_{n}(x)H_{m}(x)e^{-x^{2}}dx=2^{n}n!\sqrt{\pi }\delta _{nm}$
12. Chứng minh: a. Toán tử vi phân $\frac{\partial }{\partial x}$ là toán tử tuyến tính
b. Toán tử $\sqrt{}$ (căn bậc 2) không phải là toán tử tuyến tính.
13. Chứng minh các tính chất của toán tử liên hợp $\widehat{A^{\dagger }}$
@Mrnhan: ac nên chú ý cách đặt tiêu đề khỏi ko để nhiễu. tks
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NGUYENDUC0011: 28-09-2014 - 21:27