Chủ đề này có 2 trả lời

[zzhanamjchjzz]

Cho a,b,c dương, thỏa $a^2+b^2+c^2=3$ CMR:

    $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a} \geq \frac{9}{a+b+c}$

[dogsteven]

$a^2+1 \geqslant 2a \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+3 \geqslant 2(a+b+c)\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2 \geqslant a+b+c$

$VP=\dfrac{9(a+b+c)}{(a+b+c)^2} \leqslant \dfrac{9(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2}$

 

Tiếp theo.

 

P/s: Cái BDT phụ của anh chardhdmovies chứng minh bằng phương pháp dồn biến theo $t=\sqrt{yz}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 02-10-2014 - 13:08

[KietLW9]

Cho a,b,c dương, thỏa $a^2+b^2+c^2=3$ CMR:

    $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a} \geq \frac{9}{a+b+c}$

Từ giả thiết suy ra $ab+bc+ca=\frac{(a+b+c)^2-3}{2}$

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức: $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{bc}+\frac{c^2}{ca}\geq \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}=\frac{2(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2-3}$

Ta cần chứng minh: $\frac{2(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2-3}\geq \frac{9}{a+b+c}$

Đặt $a+b+c=t=\sqrt{3+2(ab+bc+ca)}>\sqrt{3}$

Ta quy về chứng minh: $\frac{2t^2}{t^2-3}\geq \frac{9}{t}(*)$

(*) đúng do nó tương đương:$ \frac{(t-3)^2(2t+3)}{t(t^2-3)}\geq 0$

Đẳng thức xảy ra khi $a = b = c = 1$