Đến nội dung


Hình ảnh

Đề thi chọn đội tuyển quốc gia trường Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ năm 2014-2015


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1 Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$ \heartsuit \int_{K48}^{HNUE}\heartsuit $

Đã gửi 04-10-2014 - 08:40

Đề thi chọn đội tuyển quốc gia trường Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ năm 2014-2015

 

Câu 1 : Cho dãy số $\left ( x_n \right )$ xác định bởi : $\left\{\begin{matrix} x_1=1\\ x_{n+1}=\frac{n+1}{n+2}x_n+n^2 \end{matrix}\right.$ với $n=1,2,3...$

Tính giới hạn : $\lim_{n\rightarrow +\propto }\left ( \frac{\sqrt[3]{x_n}}{1+n} \right )$

Câu 2: Tìm tất cả đa thức $P(x)$ với hệ số thỏa mãn 

$$2P^3\left ( x \right )-3=-P\left ( x^3-1 \right )$$ với mọi số thực $x$

Câu 3 : Cho 3 điểm $A,B,C$ theo thứ tự thuộc đường thẳng $d$, $M$ là một điểm duy nhất thay đổi trên đường thẳng qua $C$ và vuông góc với $d$. Từ $M$ vẽ các tiếp tuyến $MD,ME$ đến đường tròn đường kính $AB$, trong đó $D,E$ là các tiếp điểm . Chứng minh trực tâm $H$ của tam giác $MDE$ thuộc một đường tròn cố định.

Câu 4: Trong một kỳ thi có 30 thí sinh và 5 giám khảo. Mỗi giám khảo đánh giá từng thí sinh và cho kết luận thí sinh đó đỗ hay trượt. Giả sử $k$ là một số thỏa mãn điều kiện. Với hai giám khảo bất kỳ , số thi sinh mà họ cho kết luận giống nhau nhiều nhất là $k$. Chứng minh rằng : $k\geq 12$

Câu 5: Cho số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn : $x^2+y^2+z^2=2$. Tìm giá trị lớn nhất của :

$M=\frac{x^2}{x^2+yz+x+1}+\frac{y+z}{z+y+x+1}+\frac{1}{xyz+3}$

Câu 6: Tìm các số nguyên $x,y$ thỏa mãn:$\left ( x-1 \right )\left ( y^5+y^2-2y \right )=x^{11}-1$

Câu 7: Trong một bảng ô vuông kích thước $999 \times 999$, mỗi ô được tô bởi một trong 2 màu trắng hoặc đỏ. Gọi $T$ là số bộ $(C_1,C_2,C_3)$ các ô mà hai ô đầu trong cùng 1 hàng và hai ô cuối cùng 1 cột, với $C_1$ và $C_2$ màu trắng, $C_3$ màu đỏ.

Tìm giá trị lớn nhất của $T$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trang Luong: 04-10-2014 - 17:51

"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#2 HungNT

HungNT

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 273 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 04-10-2014 - 13:38

 

 

Câu 3 : Cho 3 điểm $A,B,C$ theo thứ tự thuộc đường thẳng $d$, $M$ là một điểm duy nhất thay đổi trên đường thẳng qua $C$ và vuông góc với $d$. Từ $M$ vẽ các tiếp tuyến $MD,ME$ đến đường tròn đường kính $AB$, trong đó $D,E$ là các tiếp điểm . Chứng minh trực tâm $H$ của tam giác $MDE$ thuộc một đường tròn cố định.

 

untitled.PNG

Gọi I là giao điểm của OM,ED

Dễ thấy tứ giác MIFC nội tiếp $=>OF.OC=OI.OM=OD^{2}=R^{2}$

$=>OF=\frac{R^{2}}{OC}$ giá trị không đổi. Mà $O$ cố định nên  $F$ cố định 

Do $\angle IDO=\angle IDH\left ( =\angle IME \right )=>\Delta ODH$ cân vì DI vừa đường cao vừa phân giác 

$=>DO=DH$ hay DI là trung trực của OH $=>FH=FO=const$ 

Suy ra $H \in( F,\frac{R^{2}}{OC})$ cố định



#3 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 04-10-2014 - 19:05

 

Câu 2: Tìm tất cả đa thức $P(x)$ với hệ số thỏa mãn 

$$2P^3\left ( x \right )-3=-P\left ( x^3-1 \right )\;\;\;\;(1)$$ với mọi số thực $x$

 

Câu 6: Tìm các số nguyên $x,y$ thỏa mãn:$\left ( x-1 \right )\left ( y^5+y^2-2y \right )=x^{11}-1$

 

Lời giải :

 

Câu 2 :

 

 Dễ chứng minh được phương trình $x^3-x-1=0$ có nghiệm duy nhất và gọi nghiệm này là $u$. Đặt $P(u)=a$. Trong $(1)$ lấy $x=u$ được :

$$2P^3(u)-3=-P(u^3-1)\Leftrightarrow 2a^3+a-3=0\;\;\;(*)$$

Đặt $P(x)=(x-u)^kQ(x)+a$ trong đó $Q(x)$ là đa thức thỏa mãn $\deg Q< \deg P$ và $Q(u)\neq 0$. Thay vào $(1)$ :

$$2\left [ (x-u)^kQ(x)+a \right ]^3-3=-\left [ (x^3-1-u)^kQ(x^3-1) +a\right ]\Leftrightarrow 2(x-u)^{3k}Q^3(x)+6a(x-u)^{2k}Q^2(x)+6a^2(x-u)^kQ(x)=-(x^3-1-u)^kQ(x^3-1)=-(x-u)^k(x^2+ux+u^2)^kQ(x^3-1)\Leftrightarrow 2(x-u)^{2k}Q^3(x)+6a(x-u)^kQ^2(x)+6a^2Q(x)=-(x^2+ux+u^2)^kQ(x^3-1)\;\;\;(2)$$

Trong $(2)$ ta lại cho $x=u$ :

$$6a^2Q(u)=-(3u^2)^kQ(u^3-1)=(-3u^2)^kQ(u)$$

Rõ ràng là từ $(*)$ có $a=1$, nên phải có :

$$6=6a^2\neq (-3u^2)^k$$

Ta suy ra $Q(u)=0$. Mâu thuẫn với cách đặt $P(x)$. Như vậy $P(x)$ là đa thức hằng và suy ra được :

$$P(x)\equiv a=1$$

 

Câu 6 : 

 

Bổ đề :

Với $m,x$ nguyên dương và $p$ nguyên tố thỏa $m\mid \dfrac{x^p-1}{x-1}$ thì ta luôn có $m\equiv 0,1\;\pmod p$.

 

Khi đó quay trở lại với bài toán, nhận thấy $(1,y)$ là nghiệm của phương trình, xét $x\neq 1$, ta viết phương trình đã cho thành :

$$\dfrac{x^{11}-1}{x-1}=y^5+y^2-2y=y(y-1)(y^2+y+2)$$

Theo bổ đề thì :

$$\left\{\begin{matrix} y\equiv 0,1\;\pmod {11}\;\;(1)\\ y-1\equiv 0,1\;\pmod {11}\;\;\;(2)\\ y^2+y+2\equiv 0,1\;\pmod {11}\;\;(3) \end{matrix}\right.$$

Từ $(1)(2)$ suy ra $y\equiv 1\;\pmod {11}$. Nhưng từ đó lại suy ra :

$$y^2+y+2\equiv 4\;\pmod {11}$$

Mâu thuẫn với $(3)$. 

Phương trình có nghiệm $(x,y)=(1,k)$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 04-10-2014 - 21:46

Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#4 luuvanthai

luuvanthai

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 373 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THCS Hải Hậu
  • Sở thích:Number Theory

Đã gửi 04-10-2014 - 19:38


Câu 4: Trong một kỳ thi có 30 thí sinh và 5 giám khảo. Mỗi giám khảo đánh giá từng thí sinh và cho kết luận thí sinh đó đỗ hay trượt. Giả sử $k$ là một số thỏa mãn điều kiện. Với hai giám khảo bất kỳ , số thi sinh mà họ cho kết luận giống nhau nhiều nhất là $k$. Chứng minh rằng : $k\geq 12$

Ta sẽ xét bài toán tổng quát là IMO 1998 với $a$ thí sinh và $b$ giám khảo b lẻ  $(b\geq 3)$ Ta cần cm :$\frac{k}{a}\geq \frac{b-1}{2b}$

Ý tưởng là đếm bằng 2 cách

Gọi N là số bộ 3 (giám khảo,giám khảo,học sinh) sao cho:

+,2 giám khảo đó là khác nhau

+,2 giám khảo đó cùng đánh giá đậu hoặc rớt cho thí sinh trong bộ 3

Có $\frac{b(b-1)}{2}$ cách chọn bộ 2 giám khảo

Vì mỗi bộ giám khảo có  kết luận giống nhau cho nhiều nhất là k thí sinh nên $N\leq \frac{kb(b-1)}{2}$(1)

Bây giờ ta xét cố định 1 thí sinh X và tính số cặp giám khảo cùng đánh giá cho X

Giả sử có x giám khảo kết luận đậu$\Rightarrow$ có $\frac{x(x-1)}{2}$ cặp giám khảo đánh giá X đậu

Có b-x số giám khảo KL X rớt $\Rightarrow$ có $\frac{(b-x)(b-x-1)}{2}$ cặp giám khảo đánh giá X rớt

Do đó có $\frac{x(x-1)}{2}+\frac{(b-x)(b-x-1)}{2}$ cặp giám khảo đánh giá X

$\Rightarrow N=a\left [ \frac{x(x-1)}{2}+\frac{(x-b)(x-b+1)}{2} \right ](2)$

Từ (1) và (2) kết hợp với $\frac{x^{2}-x}{2}+\frac{b^{2}-2bx+x^{2}-b+x}{2}\geq \frac{2x^{2}-2bx+b^{2}-b}{2}\geq \frac{2(x-\frac{b}{2})^{2}+\frac{b^{2}}{2}-b}{2}\geq \frac{b^{2}}{4}-\frac{b}{2}= \frac{(b-1)^{2}}{4}-\frac{1}{4}$ và do $b$ lẻ $\Rightarrow \frac{(b-1)^{2}}{4}$ nguyên

$\frac{k}{a}\geq \frac{b-1}{2b}$(đpcm)
 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luuvanthai: 04-10-2014 - 23:12


#5 luuvanthai

luuvanthai

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 373 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THCS Hải Hậu
  • Sở thích:Number Theory

Đã gửi 04-10-2014 - 19:52

 

Đề thi chọn đội tuyển quốc gia trường Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ năm 2014-2015

 

Câu 1 : Cho dãy số $\left ( x_n \right )$ xác định bởi : $\left\{\begin{matrix} x_1=1\\ x_{n+1}=\frac{n+1}{n+2}x_n+n^2 \end{matrix}\right.$ với $n=1,2,3...$

Tính giới hạn : $\lim_{n\rightarrow +\propto }\left ( \frac{\sqrt[3]{x_n}}{1+n} \right )$

 

Đặt $a_{n}=(n+1)x_{n}\Rightarrow a_{1}=2$

Khi đó $a_{n+1}=a_{n}+n^{4}+2n^{3}$

Dễ dàng cm được dãy $(a_{n})$ tăng và có $lima_{n}=$ dương vô cùng

$\frac{\sqrt[3]{x_{n}}}{n+1}=\sqrt[3]{\frac{a_{n}}{(n+1)^{4}}}$

Ta có $lim\frac{a_{n+1}-a_{n}}{(n+2)^{4}-(n+1)^{4}}=lim\frac{n^{4}+2n^{3}}{(2n+3)(2n^{2}+6n+5)}=$dương vô cùng

Theo định lý Stolz có $lim\frac{a_{n}}{(n+1)^{4}}=$dương vô cùng $lim\frac{\sqrt[3]{x_{n}}}{n+1}=$dương vô cùng



#6 nntien

nntien

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 372 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Phan Thiết, Bình Thuận.
  • Sở thích:mê Toán sơ cấp (ĐT: 0919.958.589)

Đã gửi 05-10-2014 - 07:19

Đặt $a_{n}=(n+1)x_{n}\Rightarrow a_{1}=2$

Khi đó $a_{n+1}=a_{n}+n^{4}+2n^{3}$

Dễ dàng cm được dãy $(a_{n})$ tăng và có $lima_{n}=$ dương vô cùng

$\frac{\sqrt[3]{x_{n}}}{n+1}=\sqrt[3]{\frac{a_{n}}{(n+1)^{4}}}$

Ta có $lim\frac{a_{n+1}-a_{n}}{(n+2)^{4}-(n+1)^{4}}=lim\frac{n^{4}+2n^{3}}{(2n+3)(2n^{2}+6n+5)}=$dương vô cùng

Theo định lý Stolz có $lim\frac{a_{n}}{(n+1)^{4}}=$dương vô cùng $lim\frac{\sqrt[3]{x_{n}}}{n+1}=$dương vô cùng

 

Chỉnh lại một chút: $a_{n+1}=a_{n}+n^3+2n^2$ và cuối cùng ta tính được: $lim\frac{\sqrt[3]{x_n}}{n+1}=\sqrt[3]{1/4}$

 

Chú ý: có thể ta không sử dụng định lý Stolz bằng cách chứng minh: $a_n=\frac{3n^4+2n^3-9n^2+4n+12}{12}$, từ đó suy ra kết quả


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nntien: 05-10-2014 - 07:48

$Maths$$Smart Home$ and $Penjing$

123 Phạm Thị Ngư


#7 Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Physics

Đã gửi 05-10-2014 - 08:00

 

Đề thi chọn đội tuyển quốc gia trường Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ năm 2014-2015

 

Câu 5: Cho số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn : $x^2+y^2+z^2=2$. Tìm giá trị lớn nhất của :

$M=\frac{x^2}{x^2+yz+x+1}+\frac{y+z}{z+y+x+1}+\frac{1}{xyz+3}$

 

    Ta sẽ CM :$M\leq 1$

Ta có $2(1-xy-xz+yz)=x^2+y^2+z^2-2xy-2xz+2yz=(x-y-z)^2\geq 0$

 

$= > x^2+yz+x+1=x(x+y+z+1)+(1-xy-xz+yz)\geq x(x+y+z+1)= > \frac{x^2}{x^2+yz+x+1}\leq \frac{x^2}{x(x+y+z+1)}=\frac{x}{x+y+z+1}$

 

$= > M\leq \frac{x}{x+y+z+1}+\frac{y+z}{x+y+z+1}+\frac{1}{xyz+3}=1-\frac{1}{x+y+z+1}+\frac{1}{xyz+3}\leq 1< = > \frac{1}{x+y+z+1}\geq \frac{1}{xyz+3}< = > xyz+2\geq x+y+z$

 

 Theo bđt Bunhiacopxki có $\left [ x+y+z-xyz \right ]^2=\left [ x(1-yz)+(y+z) \right ]^2\leq (x^2+(y+z)^2)((1-yz)^2+1^2)=(2+2yz)(y^2z^2-2yz+2)\leq 4< = > (yz)^2(yz-1)\leq 0< = > yz\leq 1$ 

 

Nhưng bđt đúng vì $2=x^2+y^2+z^2\geq y^2+z^2\geq 2yz= > yz\leq 1$

 

   Do đó ta có ĐPCM .Dấu = xảy ra khi $x=0,y=z=1$



#8 happyfree

happyfree

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 123 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 05-10-2014 - 20:26

dễ c/m:$\overline{OH}.\overline{OM}=2\overline{OI}.\overline{OM}=2R^{2}$

suy ra $N_{(O;2R^{2})}:M\rightarrow H; d\rightarrow (C)$ qua O suy ra $H \in (C)$ cố định :D



#9 Hoathuy21990

Hoathuy21990

    Lính mới

  • Thành viên
  • 6 Bài viết

Đã gửi 11-10-2014 - 15:10

    Ta sẽ CM :$M\leq 1$

Ta có $2(1-xy-xz+yz)=x^2+y^2+z^2-2xy-2xz+2yz=(x-y-z)^2\geq 0$

 

$= > x^2+yz+x+1=x(x+y+z+1)+(1-xy-xz+yz)\geq x(x+y+z+1)= > \frac{x^2}{x^2+yz+x+1}\leq \frac{x^2}{x(x+y+z+1)}=\frac{x}{x+y+z+1}$

 

$= > M\leq \frac{x}{x+y+z+1}+\frac{y+z}{x+y+z+1}+\frac{1}{xyz+3}=1-\frac{1}{x+y+z+1}+\frac{1}{xyz+3}\leq 1< = > \frac{1}{x+y+z+1}\geq \frac{1}{xyz+3}< = > xyz+2\geq x+y+z$

 

 Theo bđt Bunhiacopxki có $\left [ x+y+z-xyz \right ]^2=\left [ x(1-yz)+(y+z) \right ]^2\leq (x^2+(y+z)^2)((1-yz)^2+1^2)=(2+2yz)(y^2z^2-2yz+2)\leq 4< = > (yz)^2(yz-1)\leq 0< = > yz\leq 1$ 

 

Nhưng bđt đúng vì $2=x^2+y^2+z^2\geq y^2+z^2\geq 2yz= > yz\leq 1$

 

   Do đó ta có ĐPCM .Dấu = xảy ra khi $x=0,y=z=1$

Bài này gần giống trong đề thi đại học khối a 2014.Mình dùng đạo hàm thấy lời giải ngắn gọn hơn



#10 canhhoang30011999

canhhoang30011999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 634 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K43 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:toán

Đã gửi 24-06-2015 - 22:50

 

Đề thi chọn đội tuyển quốc gia trường Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ năm 2014-2015

 

Câu 1 : Cho dãy số $\left ( x_n \right )$ xác định bởi : $\left\{\begin{matrix} x_1=1\\ x_{n+1}=\frac{n+1}{n+2}x_n+n^2 \end{matrix}\right.$ với $n=1,2,3...$

Tính giới hạn : $\lim_{n\rightarrow +\propto }\left ( \frac{\sqrt[3]{x_n}}{1+n} \right )$

Câu 2: Tìm tất cả đa thức $P(x)$ với hệ số thỏa mãn 

$$2P^3\left ( x \right )-3=-P\left ( x^3-1 \right )$$ với mọi số thực $x$

Câu 3 : Cho 3 điểm $A,B,C$ theo thứ tự thuộc đường thẳng $d$, $M$ là một điểm duy nhất thay đổi trên đường thẳng qua $C$ và vuông góc với $d$. Từ $M$ vẽ các tiếp tuyến $MD,ME$ đến đường tròn đường kính $AB$, trong đó $D,E$ là các tiếp điểm . Chứng minh trực tâm $H$ của tam giác $MDE$ thuộc một đường tròn cố định.

Câu 4: Trong một kỳ thi có 30 thí sinh và 5 giám khảo. Mỗi giám khảo đánh giá từng thí sinh và cho kết luận thí sinh đó đỗ hay trượt. Giả sử $k$ là một số thỏa mãn điều kiện. Với hai giám khảo bất kỳ , số thi sinh mà họ cho kết luận giống nhau nhiều nhất là $k$. Chứng minh rằng : $k\geq 12$

Câu 5: Cho số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn : $x^2+y^2+z^2=2$. Tìm giá trị lớn nhất của :

$M=\frac{x^2}{x^2+yz+x+1}+\frac{y+z}{z+y+x+1}+\frac{1}{xyz+3}$

Câu 6: Tìm các số nguyên $x,y$ thỏa mãn:$\left ( x-1 \right )\left ( y^5+y^2-2y \right )=x^{11}-1$

Câu 7: Trong một bảng ô vuông kích thước $999 \times 999$, mỗi ô được tô bởi một trong 2 màu trắng hoặc đỏ. Gọi $T$ là số bộ $(C_1,C_2,C_3)$ các ô mà hai ô đầu trong cùng 1 hàng và hai ô cuối cùng 1 cột, với $C_1$ và $C_2$ màu trắng, $C_3$ màu đỏ.

Tìm giá trị lớn nhất của $T$

 

câu 2: đa thức này hệ số thực hay phức thế


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi canhhoang30011999: 24-06-2015 - 22:51


#11 k30101201

k30101201

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 27 Bài viết
  • Sở thích:Mathematic - Latex - Linux

Đã gửi 25-08-2015 - 16:01

Có thành viên nào giải được bài số 7 không? Post cho mình tham khảo với...


Tri thức là nền tảng cho mọi thành công của bạn!




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh