Đến nội dung

Hình ảnh

Xác định $\cap \left \{ A_{n}:n\in \mathbb{N} \right \}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1
youkito89

youkito89

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 38 Bài viết

Mình là sinh viên năm nhất, vừa học phần này, thầy dạy nhanh quá theo chưa kịp, có mấy bài tập mình muốn mọi người giúp mình, mấy bài này chắc dễ mà lần đầu mình gặp nên mông lung quá, mấy bạn giải chi tiết giúp mình nha !

 

1/ Với $n\in \mathbb{N}$ , cho $A_{n}=\left \{ (n+1)k:k\in \mathbb{N}  \right \}$.

    Xác định $\cap \left \{ A_{n}:n\in \mathbb{N} \right \}$

2/ Với $a,b\in \mathbb{R}$ và $a<b$, tìm một explicit bijection (song ánh rõ ràng ?!?) từ $A=\left \{ x:a<x<b \right \}$ vào $B=\left \{ y:0<y<1 \right \}$

3/ Chứng tỏ rằng nếu $f:A\rightarrow B$ là đơn ánh và $E\subseteq A$ thì $f^{-1}(f(E))=E$. Cho 1 ví dụ chứng minh nếu $f$ không đơn ánh thì $f^{-1}(f(E)) \neq E$

4/ Chứng tỏ rằng nếu $f:A\rightarrow B$ là song ánh và $g:B\rightarrow C$ là song ánh thì $g\circ f$ là song ánh từ $A$ vào $C$.

 

Mình không biết post có đúng mục không, nếu sai thì thật sự xin lỗi !

 

@Lời nhắn từ Ghost: Học gõ và sửa lại tiêu đề không bị khóa. Thân :D


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi youkito89: 05-10-2014 - 14:32


#2
fghost

fghost

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết

Mình là sinh viên năm nhất, vừa học phần này, thầy dạy nhanh quá theo chưa kịp, có mấy bài tập mình muốn mọi người giúp mình, mấy bài này chắc dễ mà lần đầu mình gặp nên mông lung quá, mấy bạn giải chi tiết giúp mình nha !

 

1/ Với $n\in \mathbb{N}$ , cho $A_{n}=\left \{ (n+1)k:k\in \mathbb{N}  \right \}$.

    Xác định $\cap \left \{ A_{n}:n\in \mathbb{N} \right \}$

2/ Với $a,b\in \mathbb{R}$ và $a<b$, tìm một explicit bijection (song ánh rõ ràng ?!?) từ $A=\left \{ x:a<x<b \right \}$ vào $B=\left \{ y:0<y<1 \right \}$

3/ Chứng tỏ rằng nếu $f:A\rightarrow B$ là đơn ánh và $E\subseteq A$ thì $f^{-1}(f(E))=E$. Cho 1 ví dụ chứng minh nếu $f$ không đơn ánh thì $f^{-1}(f(E)) \neq E$

4/ Chứng tỏ rằng nếu $f:A\rightarrow B$ là song ánh và $g:B\rightarrow C$ là song ánh thì $g\circ f$ là song ánh từ $A$ vào $C$.

 

Mình không biết post có đúng mục không, nếu sai thì thật sự xin lỗi !

 

@Lời nhắn từ Ghost: Học gõ và sửa lại tiêu đề không bị khóa. Thân :D

Lời giải rõ ràng thì mình không dám hứa. nhưng sẽ ghi ra bằng lời những ý đằng sau

 

1/ Để tìm $\cap \left \{ A_{n}:n\in \mathbb{N} \right \}$, ta nhìn xem những số tự nhiên nào nàm trong mọi $A_n= \{(n+1)k: k \in N\}$. Thử vài tập cụ thể, $A_1=\{2k\}, A_2=\{3k\},...$ ta thấy $A_1$ là tập những số chia hết cho $2$, $A_2$ là tập những số chia hết cho $3$, như vậy $A_n$ là tập những số chia hết cho $n+1$,...

Dễ thấy số nằm trong mọi $A_n$ là số phải chia hết cho mọi số tự nhiên khác, và dễ thấy số duy nhất thõa điều kiện đó là $1$.

 

2/ Explicit bijection có nghĩa là 1 song ánh có công thức cụ thể. Đôi khi bạn có thể chứng minh 1 bijection tồn tại mà không cần ghi công thức đó ra, trong bài này, họ yêu cầu bạn ghi công thức đó ra.

Ta thấy, $A=(a,b)$ và $B=(0,1)$, 1 bijection từ $A$ sang $B$ thì ta cần map $a$ đến $0$, và $b$ đến $1$. Một hàm số mà khi ta thế $a$ vào, ta được $0$, như vậy hàm số đó phải có nhân tử $(x-a)$, mà ta phải có $1$ khi thế $b$ vào, như vậy ta phải chia đi cho $(b-a)$. Thử hàm này xem

$f(x)= \frac{x-a}{b-a}$

Vì $b>a$, nên ta dễ thấy hàm $f$ well-defined với mọi $x$. Mà đây là hàm bậc 1, là 1 đường thẳng, nên chứng minh nó là 1 bijection thì dễ dàng.

 

3/ Chứng minh $f^{-1}(f(E))=E$ chỉ là diễn giải định nghĩa. Bạn có thể thử, và post lời giải lên đây nếu bạn không làm được.

Còn ví dụ, thì ta thử xem với 1 hàm không đơn ánh đơn giản mà ta biết $f(x)=x^2$. Và $E$ là $[0,1)$. Dể thấy, $f(E)=[0,1)$ và mà $f^{-1}([0,1))=(-1,1)$ rõ ràng lớn hơn $E$ nhiều. 

Ta đi đến ví dụ này vì ta cần hiểu nếu hàm không đơn ánh, thì có nghĩa nhiều phần tử cho cùng 1 ảnh. Nếu ta lấy $f^{-1}$ của $f(E)$ tức là ta tìm mọi phần tử cho cùng ảnh với $E$, và rõ ràng tập này có thể lớn hơn $E$.

 

4/ Chứng minh này cũng là diễn giải định nghĩa thôi, bạn cứ ghi định nghĩa ra, và post lên đây những gì bạn đã làm nếu vẫn không giải quyết được.



#3
youkito89

youkito89

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 38 Bài viết

Bạn ơi bài 1 mình thấy không có tập nào chứa số $1$ hết vậy sao giao lại ra $1$ nhỉ ?

Còn bài số 2 thay vì làm vậy thì mình map từ $a$ đến $1$ và $b$ đến $0$ được không ?



#4
fghost

fghost

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết

Bạn ơi bài 1 mình thấy không có tập nào chứa số $1$ hết vậy sao giao lại ra $1$ nhỉ ?

Còn bài số 2 thay vì làm vậy thì mình map từ $a$ đến $1$ và $b$ đến $0$ được không ?

bài 1 mình nhầm, số 0 chứ không phải 1 :) mà tùy vào định nghĩa của bạn, nếu bạn định nghĩa tập số tự nhiên là 1,2,... thì tập cần tìm là tập rỗng.

bài 2, bạn có thể map a đến 1 và b đến 0. đó vẫn là 1 bijection.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi fghost: 06-10-2014 - 19:02


#5
youkito89

youkito89

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 38 Bài viết

Bài 3 mình nghĩ thế này, nếu f là đơn ánh, vậy nếu gọi E có n phần tử thì f(E) cũng cho n phần tử, nên lấy ảnh ngược lại thì cũng bằng ấy phần từ và cũng thuộc E @.@, nhưng ghi ra thế nào bạn ơi @@



#6
fghost

fghost

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết

Bài 3 mình nghĩ thế này, nếu f là đơn ánh, vậy nếu gọi E có n phần tử thì f(E) cũng cho n phần tử, nên lấy ảnh ngược lại thì cũng bằng ấy phần từ và cũng thuộc E @.@, nhưng ghi ra thế nào bạn ơi @@

 

bạn không lập luận trên số phần tử được, vì E có thể có vô số phần tử. Ở đây bạn muốn chứng minh 2 tập bằng nhau, thì bạn nên chứng minh $f^{-1}(f(E)) \subset E$ và $E \subset f^{-1}(f(E))$. Để chứng minh ý thứ nhất, bạn bắt đầu bằng 1 phần tử của $f^{-1}(f(E))$ thì có dạng gì, và chứng minh đi đến kết luận phần tử đó phải nằm trong $E$. Tương tự cho ý thứ hai - ý này dễ thấy hơn.



#7
youkito89

youkito89

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 38 Bài viết

Vậy mình xét $x\in f^{-1}(f(E))\Rightarrow f(x)\in f(E)$, tới đây có suy ra $x \in E$ được không ?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi youkito89: 07-10-2014 - 20:29


#8
fghost

fghost

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết

Vậy mình xét $x\in f^{-1}(f(E))\Rightarrow f(x)\in f(E)$, tới đây có suy ra $x \in E$ được không ?

 

$f(x) \in f(E)$ có nghĩa là gì? Ta nhìn vào định nghĩa của $f(E)$, ta có $f(E)= \{f(t): t \in E\}$. Như vậy, $f(x)$ phải là 1 trong những $f(t)$ đó. Như vậy, $f(x)= f(t)$ với 1 phần tử $t \in E$ nào đó. Bây giờ vì $f$ là đơn ánh, bạn kết luận gì được từ $f(x)= f(t)$?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi fghost: 07-10-2014 - 23:07


#9
youkito89

youkito89

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 38 Bài viết

Vì $f$ đơn ánh,  mà $f(x)=f(t)$ nên $x=t$, mà $t \in E$ nên suy ra $x \in E$ phải không bạn ?



#10
fghost

fghost

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết

Vì $f$ đơn ánh,  mà $f(x)=f(t)$ nên $x=t$, mà $t \in E$ nên suy ra $x \in E$ phải không bạn ?

 

hiển nhiên là vậy. Chiều còn lại dễ hơn và không cần đơn ánh.






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh