Mình là sinh viên năm nhất, vừa học phần này, thầy dạy nhanh quá theo chưa kịp, có mấy bài tập mình muốn mọi người giúp mình, mấy bài này chắc dễ mà lần đầu mình gặp nên mông lung quá, mấy bạn giải chi tiết giúp mình nha !
1/ Với $n\in \mathbb{N}$ , cho $A_{n}=\left \{ (n+1)k:k\in \mathbb{N} \right \}$.
Xác định $\cap \left \{ A_{n}:n\in \mathbb{N} \right \}$
2/ Với $a,b\in \mathbb{R}$ và $a<b$, tìm một explicit bijection (song ánh rõ ràng ?!?) từ $A=\left \{ x:a<x<b \right \}$ vào $B=\left \{ y:0<y<1 \right \}$
3/ Chứng tỏ rằng nếu $f:A\rightarrow B$ là đơn ánh và $E\subseteq A$ thì $f^{-1}(f(E))=E$. Cho 1 ví dụ chứng minh nếu $f$ không đơn ánh thì $f^{-1}(f(E)) \neq E$
4/ Chứng tỏ rằng nếu $f:A\rightarrow B$ là song ánh và $g:B\rightarrow C$ là song ánh thì $g\circ f$ là song ánh từ $A$ vào $C$.
Mình không biết post có đúng mục không, nếu sai thì thật sự xin lỗi !
@Lời nhắn từ Ghost: Học gõ và sửa lại tiêu đề không bị khóa. Thân
Lời giải rõ ràng thì mình không dám hứa. nhưng sẽ ghi ra bằng lời những ý đằng sau
1/ Để tìm $\cap \left \{ A_{n}:n\in \mathbb{N} \right \}$, ta nhìn xem những số tự nhiên nào nàm trong mọi $A_n= \{(n+1)k: k \in N\}$. Thử vài tập cụ thể, $A_1=\{2k\}, A_2=\{3k\},...$ ta thấy $A_1$ là tập những số chia hết cho $2$, $A_2$ là tập những số chia hết cho $3$, như vậy $A_n$ là tập những số chia hết cho $n+1$,...
Dễ thấy số nằm trong mọi $A_n$ là số phải chia hết cho mọi số tự nhiên khác, và dễ thấy số duy nhất thõa điều kiện đó là $1$.
2/ Explicit bijection có nghĩa là 1 song ánh có công thức cụ thể. Đôi khi bạn có thể chứng minh 1 bijection tồn tại mà không cần ghi công thức đó ra, trong bài này, họ yêu cầu bạn ghi công thức đó ra.
Ta thấy, $A=(a,b)$ và $B=(0,1)$, 1 bijection từ $A$ sang $B$ thì ta cần map $a$ đến $0$, và $b$ đến $1$. Một hàm số mà khi ta thế $a$ vào, ta được $0$, như vậy hàm số đó phải có nhân tử $(x-a)$, mà ta phải có $1$ khi thế $b$ vào, như vậy ta phải chia đi cho $(b-a)$. Thử hàm này xem
$f(x)= \frac{x-a}{b-a}$
Vì $b>a$, nên ta dễ thấy hàm $f$ well-defined với mọi $x$. Mà đây là hàm bậc 1, là 1 đường thẳng, nên chứng minh nó là 1 bijection thì dễ dàng.
3/ Chứng minh $f^{-1}(f(E))=E$ chỉ là diễn giải định nghĩa. Bạn có thể thử, và post lời giải lên đây nếu bạn không làm được.
Còn ví dụ, thì ta thử xem với 1 hàm không đơn ánh đơn giản mà ta biết $f(x)=x^2$. Và $E$ là $[0,1)$. Dể thấy, $f(E)=[0,1)$ và mà $f^{-1}([0,1))=(-1,1)$ rõ ràng lớn hơn $E$ nhiều.
Ta đi đến ví dụ này vì ta cần hiểu nếu hàm không đơn ánh, thì có nghĩa nhiều phần tử cho cùng 1 ảnh. Nếu ta lấy $f^{-1}$ của $f(E)$ tức là ta tìm mọi phần tử cho cùng ảnh với $E$, và rõ ràng tập này có thể lớn hơn $E$.
4/ Chứng minh này cũng là diễn giải định nghĩa thôi, bạn cứ ghi định nghĩa ra, và post lên đây những gì bạn đã làm nếu vẫn không giải quyết được.