Chủ đề này có 7 trả lời

[Juliel]

 

Nguồn : Facebook

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 05-10-2014 - 18:38

[Kool LL]

Bài 3 : Cho $\Delta ABC$ không cân, đường tròn nội tiếp $(I,r)$ tiếp xúc các cạnh $BC,\ CA,\ AB$ tuơg ứng tại $D,E,F$. Gọi $A_1,\ B_1,\ C_1$ thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp của $\Delta IBC,\ \Delta ICA,\ \Delta IAB$.

a) CMR : Các đường thằng $A_1D,\ B_1E,\ C_1F$ đồng quy.

b) Gọi điểm đồng quy trên là $T$. G/s $AT\perp IT$. CMR : $IT$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp $\Delta IB_1C_1$.

 

a)

Dễ thấy $IA$ là trung trực của $EF$ nên $IA\perp EF$

Mặt khác ta cũng có $B_1C_1$ là trung trực của $IA$ nên $IA\perp B_1C_1$

Suy ra $EF//B_1C_1$.

Cmtt ta có : $DE//A_1B_1$ , $DF//A_1C_1$.

Do đó $\Delta DEF\sim\Delta A_1B_1C_1$$\Rightarrow \frac{DE}{A_1B_1}=\frac{DF}{A_1C_1}$

Gọi $T_1=A_1D\cap B_1E\ ;\ T_2=A_1D\cap C_1F$

Ta có : $\frac{\overline{T_1D}}{\overline{T_1A_1}}=\frac{\overline{DE}}{\overline{A_1B_1}}=\frac{\overline{DF}}{\overline{A_1C_1}}=\frac{\overline{T_2D}}{\overline{T_2A_1}}$$\Rightarrow \frac{\overline{DA_1}}{\overline{T_1A_1}}=\frac{\overline{DA_1}}{\overline{T_2A_1}}$$\Rightarrow T_1\equiv T_2$

Vậy $A_1D,\ B_1E,\ C_1F$ đồng quy.

 

b)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kool LL: 07-10-2014 - 11:26

[phuocbach]

Hình như bài 5 sai đề

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuocbach: 06-10-2014 - 18:08

[brianorosco]

Câu 4:

a)$1=\frac{2015a^4+a^4}{2015a^4+a^4}$

Vậy tồn tại số đẹp.

Nếu $n$ là số đẹp

$\Rightarrow n=\frac{2015a^4+b^4}{2015c^4+d^4}\Rightarrow 16n=\frac{2015(2a)^4+(2b)^4}{2015c^4+d^4}$

Vậy 16n cũng là số đẹp.vậy tồn tại vô hạn số đẹp.

b)Ta cm bổ đề: Nếu $a^2+b^2\vdots p$ với p là số nguyên tố dạng $4k+3$ thì $a\vdots p$ và $b\vdots p$

Giả sử $a$ không chia hết cho p $\Rightarrow a^{p-1} \equiv 1$ (mod $p$)$\Rightarrow a^{4k+2}+b^{4k+2}\equiv 2$ (mod $p$)

Mà :$(a^{2})^{2k+1}+(b^{2})^{2k+1}\vdots a^{2}+b^{2}\vdots p$ (vô lí) $\Rightarrow$dpcm

Quay lại bài toán.Giả sử 2014 là số đẹp.

$\Rightarrow 2014=\frac{2015a^{4}+b^{4}}{2015c^{4}+d^{4}}$

Đặt:$(a,b,c,d)=m$$\Rightarrow a=mx,b=my,c=mz,d=mt,(x,y,z,t)=1$

$2015z^{4}+t^{4}=\frac{2015x^{4}+y^4}{2014}\Rightarrow x^{4}+y^{4}\vdots 1007\Rightarrow x\vdots 1007,y\vdots 1007\Rightarrow 2015z^{4}+t^{4}\vdots 1007\Rightarrow z\vdots 1007,t\vdots 1007$ (vô lí)

Vậy 2014 không phải là số đẹp

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi brianorosco: 07-10-2014 - 20:28

[nntien]

Câu 2: Gợi ý:

Ta xét thêm hai dãy:

$y_{n+2}=\sqrt[3]{y_{n+1}}+\sqrt{y_{n+1}}$

$z_{n+2}=\sqrt[3]{z_{n}}+\sqrt{z_{n}}$

Trong đó: $z_1=y_1=x_1; z_2=y_2=x_2$.

Dễ thấy hai dãy $y_n$, $z_n$ tăng và $z_n<x_n<y_n$

Xét phương trình $x=\sqrt[3]{x}+\sqrt{x}$ => có 1 nghiệm dương duy nhất gọi là $t_0>1$

nếu $1<a<t_0$, $1<b<t_0$ => $\sqrt[3]{a}+\sqrt{b}<\sqrt[3]{t_0}+\sqrt{t_0}=t_0$.

=> hai dãy $y_n$, $z_n$ bị chặn trên bởi $t_0$

=> $x_n$ có giới hạn là $t_0$ trong đó $t_0$ là nghiệm của pt: $x=\sqrt[3]{x}+\sqrt{x}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nntien: 13-10-2014 - 13:36

[yeutoanmanhliet]

a)

Dễ thấy $IA$ là trung trực của $EF$ nên $IA\perp EF$

Mặt khác ta cũng có $B_1C_1$ là trung trực của $IA$ nên $IA\perp B_1C_1$

Suy ra $EF//B_1C_1$.

Cmtt ta có : $DE//A_1B_1$ , $DF//A_1C_1$.

Do đó $\Delta DEF\sim\Delta A_1B_1C_1$$\Rightarrow \frac{DE}{A_1B_1}=\frac{DF}{A_1C_1}$

Gọi $T_1=A_1D\cap B_1E\ ;\ T_2=A_1D\cap C_1F$

Ta có : $\frac{\overline{T_1D}}{\overline{T_1A_1}}=\frac{\overline{DE}}{\overline{A_1B_1}}=\frac{\overline{DF}}{\overline{A_1C_1}}=\frac{\overline{T_2D}}{\overline{T_2A_1}}$$\Rightarrow \frac{\overline{DA_1}}{\overline{T_1A_1}}=\frac{\overline{DA_1}}{\overline{T_2A_1}}$$\Rightarrow T_1\equiv T_2$

Vậy $A_1D,\ B_1E,\ C_1F$ đồng quy.

 

b) câu b khó

 

[yeutoanmanhliet]

 

Câu 2: Gợi ý:

Ta xét thêm hai dãy:

$y_{n+2}=\sqrt[3]{y_{n+1}}+\sqrt{y_{n+1}}$

$z_{n+2}=\sqrt[3]{z_{n}}+\sqrt{z_{n}}$

Trong đó: $z_1=y_1=x_1; z_2=y_2=x_2$.

Dễ thấy hai dãy $y_n$, $z_n$ tăng và $z_n<x_n<y_n$

Xét phương trình $x=\sqrt[3]{x}+\sqrt{x}$ => có 1 nghiệm dương duy nhất gọi là $t_0>1$

nếu $1<a<t_0$, $1<b<t_0$ => $\sqrt[3]{a}+\sqrt{b}<\sqrt[3]{t_0}+\sqrt{t_0}=t_0$.

=> hai dãy $y_n$, $z_n$ bị chặn trên bởi $t_0$

=> $x_n$ có giới hạn là $t_0$ trong đó $t_0$ là nghiệm của pt: $x=\sqrt[3]{x}+\sqrt{x}$.

 

còn chăn trên của 2 dãy đâu

[NHN]

câu 2: $x_3 > x_2$ vậy qui nạp suy ra $x_{n+2}=\sqrt{x_{n+1}}+\sqrt[3]{x_n}>\sqrt{x_n}+\sqrt[3]{x_{n-1}}=x_{n+1}$ vậy đãy tăng

mà đễ thấy bị chặn trên bởi $4$ bằng qui nạp suy ra đãy hội tụ rồi ta đi giải phương trình giới hạn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHN: 23-11-2017 - 12:55