Cho $a,b,c$ là ba cạnh tam giác.$x,y,z$ là nghiệm của hệ $\left\{\begin{matrix} cy+bz=a & \\ az+cx=b & \\ bx+ay=c & \end{matrix}\right.$
Chứng minh $x+y+z\leq \frac{3}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duaconcuachua98: 09-10-2014 - 15:39
Cho $a,b,c$ là ba cạnh tam giác.$x,y,z$ là nghiệm của hệ $\left\{\begin{matrix} cy+bz=a & \\ az+cx=b & \\ bx+ay=c & \end{matrix}\right.$
Chứng minh $x+y+z\leq \frac{3}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duaconcuachua98: 09-10-2014 - 15:39
Cho $a,b,c$ là ba cạnh tam giác.$x,y,z$ là nghiệm của hệ $\left\{\begin{matrix} cy+bz=a & \\ az+cx=b & \\ bx+ay=c & \end{matrix}\right.$
Chứng minh $x+y+z\leq \frac{3}{2}$
Lời giải ( Hướng TH Phan)
PT(1), (2):
$\Leftrightarrow \begin{Bmatrix} acy+abz=a^2\\ abz+bcx=b^2 \end{Bmatrix}\rightarrow ay-bx=\frac{a^2-b^2}{c};ay+bx=c\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\\ x=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\\ y=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \end{matrix}\right.$
Khi đó: $x+y+z=\sum \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\leq \frac{3}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Huong TH Phan: 09-10-2014 - 20:44
Cho $a,b,c$ là ba cạnh tam giác.$x,y,z$ là nghiệm của hệ $\left\{\begin{matrix} cy+bz=a & \\ az+cx=b & \\ bx+ay=c & \end{matrix}\right.$
Chứng minh $x+y+z\leq \frac{3}{2}$
Giải hpt suy ra $x=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\cos A$ ; $y=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}=\cos B$ ; $z=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\cos C$
Do đó : $T=x+y+z=\cos A+\cos B+\cos C$$=2.\cos\left(\frac{A+B}{2}\right).\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)+1-2.\sin^2\left(\frac{C}{2}\right)$
$\le 2.\sin\left(\frac{C}{2}\right).1+1-2.\sin^2\left(\frac{C}{2}\right)$$=\frac{3}{2}-2.\left[\sin\left(\frac{C}{2}\right)-\frac{1}{2}\right]^2$$\le\frac{3}{2}$
-----------------------------------------------------------------------------------------------
$\boxed{\text{Cách 2}}$
$T=x+y+z=\sum_{x,y,z}\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}+1\right)-3$$=\sum_{x,y,z}\frac{(a+b+c)(a+b-c)}{2ab}-3$$=\frac{(a+b+c)\left[2(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2)\right]}{2abc}-3$
$=\frac{p(4q-p^2)}{2r}-3$ với $p=a+b+c$ ; $q=ab+bc+ca$ ; $r=abc$
Theo BĐT Schur bậc $1$ thì ta có $p(4q-p^2)\le9r$
Suy ra $T\le\frac{9}{2}-3=\frac{3}{2}$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kool LL: 30-10-2014 - 01:16
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh