Bài 5:
Lượng giác hóa $x=tan A, y=tan B, z=tan C ( \widehat{A}, \widehat{B}, \widehat{C} \neq 90^{\circ}) \Rightarrow \widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}$
Vì $tan A, tan B, tan C>0$ và $0^{\circ}<\widehat{A},\widehat{B},\widehat{C}<180^{\circ}$ suy ra $cos A, cos B, cos C>0$
Biến đổi lượng giác, BĐT tương đương:
$2cosA+cosB+cosC\leq\frac{9}{4}$
Ta có:
$2cosA+cosB+cosC$
$=2(1-2sin^{2}\frac{A}{2})+2cos\frac{B-C}{2}cos\frac{B+C}{2}$
$=-2(2sin^{2}\frac{A}{2}-cos\frac{B-C}{2}sin\frac{A}{2})+2$
$=-2(\sqrt{2}sin\frac{A}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2}}cos\frac{B-C}{2})^2+\frac{1}{4}cos^{2}\frac{B-C}{2}+2$
$\leq \frac{1}{4}(1-sin^{2}\frac{B-C}{2})+2\leq \frac{9}{4}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
$\left\{\begin{matrix}\widehat{B}=\widehat{C}\\sin\frac{A}{2}=\frac{1}{4}\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=\frac{\sqrt{15}}{7}\\y=z=\sqrt{15}\end{matrix}\right.$
NRC
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chardhdmovies: 23-10-2014 - 22:00