Đến nội dung


Hình ảnh

Đề thi chọn ĐT Quốc gia KHTN vòng 2


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 17 trả lời

#1 Nguyen Huy Tuyen

Nguyen Huy Tuyen

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 104 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 13-10-2014 - 14:21

Ngày 1

Bài 1: Giải hệ phương trình 

$\left\{\begin{matrix} (4x-y^2)(x^2+2)=12x+1\\ (4y-z^2)(y^2+2)=12y+1\\ (4z-x^2)(z^2+2)=12z+1 \end{matrix}\right.$

 

Bài 2: Tìm các số nguyên dương $x,y$ thỏa mãn : 

$2^x+11=19^y$

 

Bài 3: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Trên cung $BC$ không chứa A lấy hai điểm $M,N$ sao cho $MN//BC$ ( Tia $AM$ nằm giữa tia $AB$ và tia $AN$ ). Trên tia $BM,CN$ lấy điểm $P,Q$ sao cho $BP=BN=CM=CQ$. Đường thẳng $AM,AN$ cắt đường thẳng $PQ$ lần lượt tại $S,T$. $BT,CS$ lần lượt cắt cạnh $CQ,BP$ tại $L,K$. Chứng minh rằng $AK=AL$

 

Bài 4: Cho tập hợp $A=\begin{Bmatrix} 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 \end{Bmatrix}$ Tìm số k lớn nhất sao cho có thể chọn được k tập con thỏa mãn hợp của 4 tập con bất kì không vượt quá 8 phần tử.

 

Ngày 2

 

Bài 1: Cho $a\in \begin{bmatrix} 0,1 \end{bmatrix}$ và dãy $\begin{Bmatrix} x_{n} \end{Bmatrix}$ thỏa mãn  $x_{1}=\frac{a+1}{4}$ và $x_{n+1}=x_{n}^{2}+\frac{a}{4}$.
       1. Chứng minh dãy  $\begin{Bmatrix} x_{n} \end{Bmatrix}$ hội tụ.

       2. Chứng minh rằng $x_{n}-b<\frac{1}{n}$ với $lim(x_{n})=b$

 

Bài 2: Tìm hàm $f:\mathbb{Z}^+\rightarrow \mathbb{Z}^+$ thỏa mãn : 

$f(m^2+f(n))=f(m)^2+n$

 

Bài 3: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ ngoại tiếp $(I)$. Trung tuyến $AM$. Qua M kẻ đường thằng vuông góc với $BI,CI$ cắt $AB,AC$ tại $F,E$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $\bigtriangleup MEF$ cắt cạnh $BC$ tại điểm D khác M. Lấy $S$ là trung điểm cung $BC$ chứa $A$. Đường thẳng qua $D$ vuông góc với $BC$ cắt đường thẳng qua $S$ song song với $OI$ tại $T$. Gọi $K,L$ lần lượt là đối xứng của $T$ qua $E,F$. Chứng minh rằng $CK,BL,ST$ đồng quy tại một điểm trên $(O)$

 

Bài 4: Cho tập hợp $S=\begin{Bmatrix} 1,2,3,.......,2014 \end{Bmatrix}$. Hỏi có bao nhiêu hàm $f:S\rightarrow S$ thỏa mãn $f(n)\leqslant n \vee n\in S$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Huy Tuyen: 16-10-2014 - 02:06

Sống đơn giản, lấy nụ cười làm căn bản !


#2 hoctrocuaZel

hoctrocuaZel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1162 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lớp lang tận cùng!
  • Sở thích::( :3

Đã gửi 13-10-2014 - 17:11

Bài 2: Tìm các số nguyên dương $x,y$ thỏa mãn : 

$2^x+11=19^y$

 

Bài 2/

Dễ thấy $x=3;y=1$ là nghiệm của PT.

Nếu $y\geq 2\rightarrow 2^{4y}<19^y-11<2^{4y+1}$ (trường hợp này loại) :D


Hướng TH Phan
$(1)$ Lòng như mây trắng
$(2)$: Forever Young
$(3)$: You are the apple of my eye
Người ta thường nói tuổi thanh xuân như một cơn mưa rào, nếu bị ướt một lần thì bạn vẫn mong muốn thêm 1 lần nữa ...
#hoctrocuaZel
:(

#3 nntien

nntien

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 372 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Phan Thiết, Bình Thuận.
  • Sở thích:mê Toán sơ cấp (ĐT: 0919.958.589)

Đã gửi 13-10-2014 - 19:56

Ngày 2: 

Bài 1: Gợi ý:

1. Với a=1 => tầm thường. Xét $a \neq 1$.

Xét hàm số $f(x)=x^2+\frac{a}{4}$ dễ thấy $f(x)$ tăng trên $x>0$

Mặt khác xét p trình: $f(x)=x^2-x+\frac{a}{4}$ => $f(\frac{a+1}{4})=(\frac{a+3}{4})(\frac{a-1}{4})<0$ (1)

=> $x_1>x_2$ => $x_2>x_3$ ... dãy $x_n$ giảm và bị chặn dưới nên tồn tại giới hạn.

Giới hạn đó là: $L=\frac{1-\sqrt{1-a}}{2}$ hoặc $L=\frac{1+\sqrt{1-a}}{2}$

Mặt khác theo (1) => $\frac{1-\sqrt{1-a}}{2} < x_1 < \frac{1+\sqrt{1-a}}{2}$ => L=$\frac{1-\sqrt{1-a}}{2}$


$Maths$$Smart Home$ and $Penjing$

123 Phạm Thị Ngư


#4 luuvanthai

luuvanthai

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 373 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THCS Hải Hậu
  • Sở thích:Number Theory

Đã gửi 14-10-2014 - 08:30

Ngày 1

Bài 1: Giải hệ phương trình 

$\left\{\begin{matrix} (4x-y^2)(x^2+2)=12x+1\\ (4y-z^2)(y^2+2)=12y+1\\ (4z-x^2)(z^2+2)=12z+1 \end{matrix}\right.$

 

 Ta có $y^{2}=\frac{4x^{3}-4x-1}{x^{2}+2}$ (1)

 $z^{2}=\frac{4y^{3}-4y-1}{y^{2}+2} (2)$

$x^{2}=\frac{4z^{3}-4z-1}{z^{2}+2}(3)$

  Từ $(1)\Rightarrow y^{2}\leq x^{2}$ vì $\frac{4x^{3}-4x-1}{x^{2}+2}\leq x^{2}\Leftrightarrow x^{4}-4x^{3}+2x^{2}+4x+1\geq 0\Leftrightarrow (x-\frac{1}{x}-2)^{2}\geq 0$

 Tương tự $(2)\Rightarrow z^{2}\leq y^{2};(3)\Rightarrow x^{2}\leq z^{2}$

 Do đó $x^{2}=y^{2}=z^{2}\Rightarrow x=y=z=1+\sqrt{5}$



#5 khanghaxuan

khanghaxuan

    Trung úy

  • Thành viên
  • 969 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Bất đẳng thức , Tổ Hợp .

Đã gửi 14-10-2014 - 10:17

Bài 2/

Dễ thấy $x=3;y=1$ là nghiệm của PT.

Nếu $y\geq 2\rightarrow 2^{4y}<19^y-11<2^{4y+1}$ (trường hợp này loại) :D

Mình chưa hiểu lắm . Bạn giải chi tiết hơn giúp mình nhé ! Cảm ơn


Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .

- A.Lincoln -

#6 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4263 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 14-10-2014 - 14:28

Bài 2/

Dễ thấy $x=3;y=1$ là nghiệm của PT.

Nếu $y\geq 2\rightarrow 2^{4y}<19^y-11<2^{4y+1}$ (trường hợp này loại) :D

Cái này không đúng đâu nhé, thử với $y=5$.


“People's dream will never end!” - Marshall D. Teach.


#7 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4263 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 14-10-2014 - 15:00

Bài 2: Tìm các số nguyên dương $x,y$ thỏa mãn : 

$2^x+11=19^y \qquad (1)$

Lời giải. Hiển nhiên $(x,y)=(3,1)$ là một nghiệm của phương trình. Xét với $y \ge 2$ thì $x \ge 3$. Khi đó $2^x+11 \equiv 3 \pmod 4$ nên $19^y \equiv 3 \pmod{4}$. Ta suy ra $y$ lẻ. Ta có $$(1) \Leftrightarrow 8(2^{x-3}-1)=19(19^{y-1}-1).$$

Vì $19|2^{x-3}-1$ nên $18|x-3$. Do đó $73|2^{18}-1|2^{x-3}-1$. Ta suy ra $73|19^{y-1}-1$. Do đó $36|y-1$ hay $4|y-1$. Khi đó theo bổ đề LTE thì $$v_2(19^{y-1}-1)=v_2(19^2-1)+v_2(y-1)-1=2+v_2(y-1) \ge 4.$$

Mặt khác thì $v_2(VT)=3$, mâu thuẫn. Vậy trường hợp này phương trình không có nghiệm.

Vậy phương trình có nghiệm nguyên dương $\boxed{(x,y)=(3,1)}$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zaraki: 14-10-2014 - 15:01

“People's dream will never end!” - Marshall D. Teach.


#8 Nguyen Huy Tuyen

Nguyen Huy Tuyen

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 104 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-10-2014 - 15:08

Chỗ đó phải là : '' Trên tia đối của tia BM và CN'' chứ bạn.

 

 Mình nhầm, đúng là $BP=BN=CM=CQ$ mình sửa lại rồi đó !


Sống đơn giản, lấy nụ cười làm căn bản !


#9 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4263 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 15-10-2014 - 15:22

Sao vẽ hình bài 3 ngày 1 mà không thấy $AK=AL$ nhỉ ?  :closedeyes:

Hình gửi kèm

  • Screen Shot 2014-10-15 at 6.21.32 pm.png

“People's dream will never end!” - Marshall D. Teach.


#10 quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 632 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 15-10-2014 - 17:09

$AM,AN$ cắt $PQ$ tại $S,T$...



#11 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4263 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 18-10-2014 - 13:18

Bài 3: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Trên cung $BC$ không chứa A lấy hai điểm $M,N$ sao cho $MN//BC$ ( Tia $AM$ nằm giữa tia $AB$ và tia $AN$ ). Trên tia $BM,CN$ lấy điểm $P,Q$ sao cho $BP=BN=CM=CQ$. Đường thẳng $AM,AN$ cắt đường thẳng $PQ$ lần lượt tại $S,T$. $BT,CS$ lần lượt cắt cạnh $CQ,BP$ tại $L,K$. Chứng minh rằng $AK=AL$

Lời giải.

Screen Shot 2014-10-18 at 4.39.59 pm.png

$AM,AN$ cắt $BC$ lần lượt tại $X,Y$. Dễ chứng minh $X,Y$ nằm giữa $BC$. Vì $BC \parallel SP$ nên $$\begin{aligned} & (BK,MP)=S(BK,MP)=(BC,X) \\ \Leftrightarrow & \frac{\overline{MB}}{\overline{PB}} \cdot \frac{\overline{PK}}{\overline{MK}}= \frac{\overline{XB}}{\overline{XC}} = \frac{AB \cdot \sin \left( \overrightarrow{AX}, \overrightarrow{AB} \right)}{AC \cdot \sin \left( \overrightarrow{AX}, \overrightarrow{AC} \right)} \end{aligned} \qquad (1)$$

Để ý rằng $ \frac{AB \cdot \sin \left( \overrightarrow{AX}, \overrightarrow{AB} \right)}{AC \cdot \sin \left( \overrightarrow{AX}, \overrightarrow{AC} \right)}= - \frac{AB}{AC} \cdot \frac{BM}{BP}$ vì $X$ nằm giữa $B$ và $C$. Kết hợp với $M$ nằm giữa $BP$ thì  từ $(1)$ ta suy ra $\frac{\overline{PK}}{\overline{MK}}= - \frac{AB}{AC}$. Do đó $K$ nằm giữa $M$ và $P$ và $\frac{PK}{MK}= \frac{AB}{AC}$. Chứng minh tương tự $\frac{LN}{LQ}= \frac{AB}{AC}$ và $L$ nằm giữa $N,Q$. Khi đó $\frac{KP}{KM}= \frac{LN}{LQ}$ suy ra $KP=LN$ (vì $KP+KM=LN+LQ=QN=MP$).

 

Gọi $I$ là trung điểm cung $BC$ không chứa $A$. $CI$ phân giác $\angle MCN$ nên $CI \perp MQ,IM=IQ$ (vì $CM=CQ$). Tương tự $BI \perp PN,IN=IP$. Ta sẽ đi chứng minh $AI \perp KL$ và $IK=IL$.

Từ các chứng minh trên ta dễ dàng có $\triangle IPK= \triangle INL \; ( \text{c.g.c})$ dẫn đến $IK=IL$.

 

Ta có $\frac{KM}{KP}= \frac{LN}{LQ}= \frac{AB}{AC}$ nên $\overrightarrow{KL}= \frac{1}{AB+AC} \left( AC \cdot \overrightarrow{PN}+AB \cdot \overrightarrow{MQ} \right)$.

Ta có $$\begin{aligned} AI \perp KL & \Leftrightarrow \overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{KL}= \vec{0} \\ & \Leftrightarrow \left( \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BI} \right) \left( AC \cdot \overrightarrow{PN}+AB \cdot \overrightarrow{MQ} \right)= \vec{0} \\ & \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{PN} \cdot AC + \overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{MQ} \cdot AB = \vec{0} \; ( \text{ vì} \; BI \perp PN) \\ & \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{PN} \cdot AC+ \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{MQ} \cdot AB= \vec{0} \; (\text{vì} \; CI \perp MQ)  \\ & \Leftrightarrow AB \cdot PN \cdot AC \cdot \cos \left( \overrightarrow{PN}, \overrightarrow{AB} \right)= AC \cdot AB \cdot QM \cdot \cos \left( \overrightarrow{MQ}, \overrightarrow{AC} \right) \\ & \Leftrightarrow \cos \left( \overrightarrow{PN}, \overrightarrow{BA} \right)= \cos \left( \overrightarrow{MQ}, \overrightarrow{AC} \right). \end{aligned}$$

 

Trường hợp $A$ nằm chính giữa cung $BC$ thì ta dễ dàng chứng minh được $AK=AL$, lúc này $AB \parallel NP, AC \parallel MQ$.

Trường hợp $A$ không nằm chính giữa cung $BC$, gọi giao điểm của các cặp đưởng thẳng $PN$ và $AB$, $MQ$ và $AC$ lần lượt là $U,V$. Dễ chứng minh được $\angle CVM= \angle AUN= \left| \angle ABC- \angle ACB \right|$. Ta sẽ chứng minh $U,V$ nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ $BC \qquad (2)$.

 

Gọi $H$ là điểm chính giữa cung $BC$ chứa điểm $A$. Khi đó $HC \parallel QM$. Không mất tính tổng quát, giả sử $AB<AC$ thì khi đó $A,B,M,Q$ cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ $HC$. Do đó với $V$ là giao điểm của $AB$ và $MQ$ thì $A$ nằm giữa $V$ và $C$. Hay nói cách khác $V$ nằm trên nửa mặt phẳng bờ $BC$ có chứa $A$. Lập luận tương tự với $U$. Ta đã chứng minh được $(2)$. Trong trường hợp $AB<AC$ thì áp dụng $(2)$ ta được $A$ nằm giữa $V$ và $C$, $M$ nằm giữa $V$ và $Q$ nên $\left( \overrightarrow{MQ}, \overrightarrow{AC} \right)= \angle CVM$. 

Từ $(2)$ ta suy ra $\cos \left( \overrightarrow{MQ}, \overrightarrow{AC} \right) = \cos \angle CVM = \cos \left( \overrightarrow{PN}, \overrightarrow{BA} \right)$ (trường hợp $AB<AC$). Ta thu được $AI \perp KL$.

 

Vậy $AI \perp KL$ và $IK=IL$ nên ta suy ra $AK=AL$. $\blacksquare$

 

Ps: Xin lỗi vì kí hiệu nhầm trong hình vẽ, hai điểm $U,V$ đổi tên cho nhau nhé! :D


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zaraki: 18-10-2014 - 17:17

“People's dream will never end!” - Marshall D. Teach.


#12 quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 632 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 18-10-2014 - 13:39

Một lời giải công phu dùng tích vô hướng :)! Đáp án của bài này tôi sẽ công bố trong thời gian tới!



#13 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4263 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 19-10-2014 - 15:45

Bài 3: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ ngoại tiếp $(I)$. Trung tuyến $AM$. Qua M kẻ đường thằng vuông góc với $BI,CI$ cắt $AB,AC$ tại $F,E$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $\bigtriangleup MEF$ cắt cạnh $BC$ tại điểm D khác M. Lấy $S$ là trung điểm cung $BC$ chứa $A$. Đường thẳng qua $D$ vuông góc với $BC$ cắt đường thẳng qua $S$ song song với $OI$ tại $T$. Gọi $K,L$ lần lượt là đối xứng của $T$ qua $E,F$. Chứng minh rằng $CK,BL,ST$ đồng quy tại một điểm trên $(O)$

Lời giải.

Screen Shot 2014-10-19 at 6.44.37 pm.png

Dễ thấy rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $DEF$ chính là đường tròn $(I,IM)$. Gọi $H$ là trung điểm cung $BC$ không chứa điểm $A$. Không mất tính tổng quát giả sử $AB <AC$.

Ta có $TD \parallel SH$ (cùng vuông góc với $BC$) và $IM=ID$ nên dễ dàng suy ra $I$ là trung điểm $TH$ và $T,I,A,H$ thẳng hàng.

$SH$ là đường kính của $(O)$ nên $\triangle SBH$ vuông tại $B$ có $BM \perp SH$ nên $HI^2=HB^2=HM \cdot HS$. Từ đây suy ra $\triangle HIM \sim \triangle HSI \; ( \text{c.g.c})$. Từ đó suy ra $\frac{HI}{HS}= \frac{IM}{SI}$ nên $\frac{2HI}{HS}= \frac{2IM}{IS}$ hay $\frac{HT}{HS}= \frac{2FI}{IS}= \frac{LH}{IS}$. Mà $\frac{HT}{HS}= \frac{HI}{HO}= \frac{BH}{OS}$ nên $\frac{BH}{OS}= \frac{LH}{IS} \qquad (1)$.

 

Từ $B$ kẻ đường song song với $LH$ cắt $SI$ tại $X$. Khi đó $\angle BXI= \angle FIS$ hay $\angle C+ \angle AHS= \angle FIA+ \angle AIS=\angle FIA+ \angle ISO+ \angle AHS$. Do đó $\angle C- \angle AIF= \angle ISO$. Mặt khác thì   $$\begin{aligned} \angle C- \angle AIF & = 180^{\circ}- \angle A - \angle B -\left( 180^{\circ}- \angle \frac A 2 - \angle AFI \right) \\ & =\angle ABX - \left( \angle B + \angle \frac A2 \right)= \angle ABX- \angle ABH= \angle XBH= \angle BHL. \end{aligned}$$

Như vậy $\angle BHL= \angle ISO \qquad (2)$.

Từ $(1)$ và $(2)$ ta suy ra $\triangle BLH \sim \triangle OIS \; ( \text{c.g.c})$. Do đó $$\angle HBL= \angle SOI=180^{\circ}- \angle IOH=180^{\circ}- \angle TSH.$$

$TS$ cắt $(O)$ tại $P$ thì $\angle HBL= \angle HSP(= 180^{\circ}- \angle TSH)$.  $BL$ cắt $SP$ tại $P'$ thì ta suy ra $P' \in (BHS)$ hay $P' \in (O)$ suy ra $P' \equiv P$. Hay nói cách khác $BL,TS$ cắt nhau tại điểm $P$ thuộc $(O)$.

Chứng minh tương tự với cặp $CK,ST$ thì ta có điều phải chứng minh. $\blacksquare$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zaraki: 19-10-2014 - 15:50

“People's dream will never end!” - Marshall D. Teach.


#14 quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 632 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 11-01-2015 - 12:46

Lời giải cho hai bài hình học vòng 2

 

Ngày 1 http://analgeomatica...nd-2-day-1.html

 

Ngày 2 http://analgeomatica...nd-2-day-2.html



#15 buivantuanpro123

buivantuanpro123

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 96 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:nơi không tồn tại
  • Sở thích:học toán

Đã gửi 05-06-2015 - 08:41

Lời giải.

attachicon.gifScreen Shot 2014-10-19 at 6.44.37 pm.png

Dễ thấy rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $DEF$ chính là đường tròn $(I,IM)$. Gọi $H$ là trung điểm cung $BC$ không chứa điểm $A$. Không mất tính tổng quát giả sử $AB <AC$.

Ta có $TD \parallel SH$ (cùng vuông góc với $BC$) và $IM=ID$ nên dễ dàng suy ra $I$ là trung điểm $TH$ và $T,I,A,H$ thẳng hàng.

$SH$ là đường kính của $(O)$ nên $\triangle SBH$ vuông tại $B$ có $BM \perp SH$ nên $HI^2=HB^2=HM \cdot HS$. Từ đây suy ra $\triangle HIM \sim \triangle HSI \; ( \text{c.g.c})$. Từ đó suy ra $\frac{HI}{HS}= \frac{IM}{SI}$ nên $\frac{2HI}{HS}= \frac{2IM}{IS}$ hay $\frac{HT}{HS}= \frac{2FI}{IS}= \frac{LH}{IS}$. Mà $\frac{HT}{HS}= \frac{HI}{HO}= \frac{BH}{OS}$ nên $\frac{BH}{OS}= \frac{LH}{IS} \qquad (1)$.

 

Từ $B$ kẻ đường song song với $LH$ cắt $SI$ tại $X$. Khi đó $\angle BXI= \angle FIS$ hay $\angle C+ \angle AHS= \angle FIA+ \angle AIS=\angle FIA+ \angle ISO+ \angle AHS$. Do đó $\angle C- \angle AIF= \angle ISO$. Mặt khác thì   $$\begin{aligned} \angle C- \angle AIF & = 180^{\circ}- \angle A - \angle B -\left( 180^{\circ}- \angle \frac A 2 - \angle AFI \right) \\ & =\angle ABX - \left( \angle B + \angle \frac A2 \right)= \angle ABX- \angle ABH= \angle XBH= \angle BHL. \end{aligned}$$

Như vậy $\angle BHL= \angle ISO \qquad (2)$.

Từ $(1)$ và $(2)$ ta suy ra $\triangle BLH \sim \triangle OIS \; ( \text{c.g.c})$. Do đó $$\angle HBL= \angle SOI=180^{\circ}- \angle IOH=180^{\circ}- \angle TSH.$$

$TS$ cắt $(O)$ tại $P$ thì $\angle HBL= \angle HSP(= 180^{\circ}- \angle TSH)$.  $BL$ cắt $SP$ tại $P'$ thì ta suy ra $P' \in (BHS)$ hay $P' \in (O)$ suy ra $P' \equiv P$. Hay nói cách khác $BL,TS$ cắt nhau tại điểm $P$ thuộc $(O)$.

Chứng minh tương tự với cặp $CK,ST$ thì ta có điều phải chứng minh. $\blacksquare$

Phần TD $\left | \right |$ SH và IM=ID nên suy ra I là trung điểm TH mình không hiểu , bạn giải thích rõ hơn được không

Còn phần Từ B kẻ đường thẳng song song với LH cắt SI tại X, bạn phải chứng minh X thuộc (O) chứ rồi mới có $\angle BXI=\angle C+\angle AHS$



#16 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4263 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 04-07-2015 - 04:39

Phần TD $\left | \right |$ SH và IM=ID nên suy ra I là trung điểm TH mình không hiểu , bạn giải thích rõ hơn được không

Còn phần Từ B kẻ đường thẳng song song với LH cắt SI tại X, bạn phải chứng minh X thuộc (O) chứ rồi mới có $\angle BXI=\angle C+\angle AHS$

Phần $I$ trung điểm $TH$: Vì $IM=ID$ và $TD \parallel SH$ nên $I$ thuộc đường thẳng $d$ sao cho đường thẳng $TD$ và $SH$ đối xứng với nhau qua $d$. $O \in SH$ nên nếu $IO \cap TD=R$ thì $IO=IR= \frac 12 OR$. Mặt khác $RO \parallel ST, TR \parallel SO$ nên $TSOR$ là hình bình hành. Ta có $OR=TS=2OI$. Như vậy thì $OI \parallel TS$ và $OI= \frac 12 TS$ nên $I$ trung điểm $TH$.

 

Phần $X \in (O)$. Ta thấy $X \in (O) \Leftrightarrow ASXB \; nt \Leftrightarrow ASIF \; nt \; (IF \parallel BX) \Leftrightarrow \angle ASI= \angle IFB \Leftrightarrow \angle ASI= \angle IMB \\ \Leftrightarrow \angle AIS= \angle IMS \Leftrightarrow \angle ISH= \angle MIH$. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zaraki: 04-07-2015 - 04:40

“People's dream will never end!” - Marshall D. Teach.


#17 Nguyen Giap Phuong Duy

Nguyen Giap Phuong Duy

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 19 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hậu Nghĩa, Long An
  • Sở thích:Không có sở thích :'(

Đã gửi 04-07-2015 - 23:45

ai đó giải bài phương trình hàm đi :) loay hoay mãi mà không được



#18 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4263 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 05-07-2015 - 10:50

ai đó giải bài phương trình hàm đi :) loay hoay mãi mà không được

Bạn xem tại đây.


“People's dream will never end!” - Marshall D. Teach.





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh