Đến nội dung


Hình ảnh

Đề thi chọn đội tuyển TPHCM


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 13 trả lời

#1 Su That Phu Phang

Su That Phu Phang

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-10-2014 - 16:51

Đề thi chọn đội tuyển HSG TPHCM 2014-2015

 

Hình gửi kèm

  • 10671421_527286657407142_3860087768560768265_n.jpg


#2 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 14-10-2014 - 20:33

Bài 1 :

 

Đặt $t=\dfrac{1}{x}$, khi đó phương trình thứ hai trở thành :

$$\dfrac{y}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{y}{x}}+\dfrac{\dfrac{1}{x}}{y+\dfrac{y}{x}}=\dfrac{2}{1+\sqrt{\dfrac{y}{x}}}\Leftrightarrow \dfrac{y}{t+ty}+\dfrac{t}{y+ty}=\dfrac{2}{1+\sqrt{ty}}\;\;(*)$$

Ta sẽ chứng minh BĐT sau với các số dương $a,b$ :

$$\frac{a}{b+ab}+\frac{b}{a+ab}\geq \dfrac{2}{1+\sqrt{ab}}$$

BĐT này thuần nhất nên chuẩn hóa $ab=1$. Từ đó cần chứng minh :

$$\frac{a}{b+1}+\frac{b}{a+1}\geq 1$$

Và điều này thì đúng theo Cauchy-Schwarz :

$$\frac{a}{b+1}+\frac{b}{a+1}\geq \dfrac{(a+b)^2}{2ab+2}=(a+b)^2/4\geq ab=1$$

Từ đó quay trở lại với phương trình $(*)$, sử dụng BĐT trên ta được $VT \geq VP$ và đẳng thức xảy ra khi $t=y$ tức $xy=1$.

Từ đó dễ dàng giải tiếp.

 

Bài 2 :

 

Đặt $u_n=\log_{2014}x_n$ thì $(u_n)$ xác định bởi :

$$\left\{\begin{matrix} u_1=0,u_2=1\\ 3u_{n+2}=2u_{n+1}+u_n \end{matrix}\right.$$

Tìm công thức tổng quát của $(u_n)$ và tính được $\lim u_n$, từ đó tính được $\lim x_n$.

 

Bài 4 :

 

 Dễ dàng nhận thấy $AM,DE,BC$ đồng quy tại tâm đẳng phương $J$ của ba đường tròn $(ADE),(K),(O)$

Ta thấy $M$ chính là điểm Miquel của tứ giác toàn phần $BDECAJ$. Gọi $X$ là giao của $DC,BE$.

Ta sẽ chứng minh $M,K,X$ thẳng hàng.

Theo định lí Brocard thì $KX$ vuông góc $AJ$, vậy cần chỉ ra $MX$ vuông góc $AJ$

Ta có $A(JX,BC)=-1$ vì là chùm điều hòa tứ giác toàn phần. Suy ra $M(JX,DC)=-1$.

Ta chứng minh được $MX$ là phân giác góc $DMC$ , từ đó theo định lí chùm điều hòa ta có $MX$ vuông góc $AJ$.

Vậy ta được $M,K,X$ thẳng hàng. Kéo theo $MK$ vuông góc $MA$.

 

Bài 5 :

 

Từ phương trình ban đầu thế $y=-2f(x)$ được $f$ toàn ánh. Tiếp theo ta chứng minh $f$ đơn ánh. Gỉa sử tồn tại $a,b$ sao cho $f(a)=f(b)$. Vì $f$ toàn ánh nên tồn tại $z$ để $2f(z)=a+b$. Trong PTH đã cho thay $y=z$ :

$$f(2f(x)+z)=x+f(a+b-x)\;\;\;(*)$$

Trong $(*)$ lần lượt cho $x=a,b$ và chú ý $f(a)=f(b)$ ta suy ra được $a=b$, tức $f$ đơn ánh.

Từ đó chọn $x=0$ :

$$f(2f(0)+y)=f(2f(y))\Rightarrow 2f(y)=y+2f(0)\Rightarrow f(x)=x/2+c$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 14-10-2014 - 20:56

Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#3 henry0905

henry0905

    Trung úy

  • Thành viên
  • 892 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Trần Đại Nghĩa
  • Sở thích:Đi ngủ

Đã gửi 14-10-2014 - 21:17

Bài 3: đặt $g(x)=e^{-\frac{x}{2014}}.xf(x)$

$g'(x)=e^{-\frac{x}{2014}}(f(x)+xf'(x))-\frac{1}{2014}e^{-\frac{x}{2014}}.xf(x)=-\frac{e^{-\frac{x}{2014}}}{2014}(xf(x)-2014f(x)-2014xf'(x))$

.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi henry0905: 16-10-2014 - 15:23


#4 DangHuyNgheAn

DangHuyNgheAn

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 69 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vĩnh thành- Nghệ an.
  • Sở thích:Toán

Đã gửi 14-10-2014 - 22:08

$Cau4: Do \measuredangle BME+\measuredangle BKE=180=> MBKE noitiep=>EMK=EBK=90-ACB;AME=ADE=ACB=>AMK=90=>dpcm$



#5 TonnyMon97

TonnyMon97

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 124 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Kiên giang
  • Sở thích:Vừa nghe nhạc vừa làm bài

Đã gửi 15-10-2014 - 12:31

Bài 5: Với $y \in R$ ta chọn $b=f(0)-y$ hay $y=f(0)-b;a=-2f(b);c=2f(a)-b$.

Khi đó: $f(c)=f(2f(a)-b)=f(a+2f(b))-b=f(0)-b=y$
Vậy $f$ là toàn ánh. Do đó tồn tại $k\in R$ sao cho $f(k)=0$
Trong $(1)$ cho $x=k$ được:
$f(y)=k+f(2f(y)-k)                       $          $    \forall y\in R$         $(2)$
Do $f$ là toàn ánh nên $\forall x\in R$ có $y\in R$ sao cho $2f(y)=x+k$
$(2)\Leftrightarrow f(2f(y)-k)=\frac{1}{2}(2f(y)-k)-\frac{k}{2}$
$\Leftrightarrow f(x)=\frac{x-k}{2} $         $\forall x\in R$
Thử lại thấy thoả mãn.
Kết luận.

                          "Số nguyên tố là để nhân chứ không phải để cộng."
                                                                                                                       Lev Landau

#6 chardhdmovies

chardhdmovies

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 638 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:thpt chuyên nguyễn du
  • Sở thích:đá banh, chém gió, đánh cờ

Đã gửi 15-10-2014 - 18:05

Bài 1 :

 

Đặt $t=\dfrac{1}{x}$, khi đó phương trình thứ hai trở thành :

$$\dfrac{y}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{y}{x}}+\dfrac{\dfrac{1}{x}}{y+\dfrac{y}{x}}=\dfrac{2}{1+\sqrt{\dfrac{y}{x}}}\Leftrightarrow \dfrac{y}{t+ty}+\dfrac{t}{y+ty}=\dfrac{2}{1+\sqrt{ty}}\;\;(*)$$

Ta sẽ chứng minh BĐT sau với các số dương $a,b$ :

$$\frac{a}{b+ab}+\frac{b}{a+ab}\geq \dfrac{2}{1+\sqrt{ab}}$$

BĐT này thuần nhất nên chuẩn hóa $ab=1$. Từ đó cần chứng minh :

$$\frac{a}{b+1}+\frac{b}{a+1}\geq 1$$

Và điều này thì đúng theo Cauchy-Schwarz :

$$\frac{a}{b+1}+\frac{b}{a+1}\geq \dfrac{(a+b)^2}{2ab+2}=(a+b)^2/4\geq ab=1$$

Từ đó quay trở lại với phương trình $(*)$, sử dụng BĐT trên ta được $VT \geq VP$ và đẳng thức xảy ra khi $t=y$ tức $xy=1$.

Từ đó dễ dàng giải tiếp.

 

 

 

bđt này sao thuần nhất được ạ,khác bậc ở mẫu mà

 

NTP


                                                                                    chúng tôi là 3 người từ lớp 10 cá tính:NRC,NTP,A-Q


#7 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 15-10-2014 - 19:07

bđt này sao thuần nhất được ạ,khác bậc ở mẫu mà

 

NTP

BĐT này thuần nhất mà bạn. Bậc của hai vế đều là $-1$.


Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#8 chardhdmovies

chardhdmovies

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 638 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:thpt chuyên nguyễn du
  • Sở thích:đá banh, chém gió, đánh cờ

Đã gửi 15-10-2014 - 19:11

BĐT này thuần nhất mà bạn. Bậc của hai vế đều là $-1$.

$a=ta',b=tb'$ thì đâu có được bđt ban đầu đâu

 

NTP


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chardhdmovies: 15-10-2014 - 19:12

                                                                                    chúng tôi là 3 người từ lớp 10 cá tính:NRC,NTP,A-Q


#9 chardhdmovies

chardhdmovies

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 638 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:thpt chuyên nguyễn du
  • Sở thích:đá banh, chém gió, đánh cờ

Đã gửi 15-10-2014 - 19:19

bài $1$

xem ở đây

 

NTP


                                                                                    chúng tôi là 3 người từ lớp 10 cá tính:NRC,NTP,A-Q


#10 Near Ryuzaki

Near Ryuzaki

    $\mathbb{NKT}$

  • Thành viên
  • 804 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 26-10-2014 - 16:05

Vòng 2 :

Bài 1: Tìm đa thức $P(x)$ khác đa thức không sao cho $[P(x)]^n=P(x^n)$ với $\forall x\in\mathbb R$ và $n\ge 1$.
 
Bài 2: Có bao nhiêu số tự nhiên có 10 chữ số khác nhau trong đó các chữ số $1,2,3,4,5$ được sắp xếp theo thứ tự đó từ trái qua phải nhưng các số $1,2,3,4,5,6$ thì không.
 
Bài 3: Cho số nguyên tố $p$. Gọi $a_p$ là hệ số của $n^p$ trong $\sum_{k=0}^pC_p^k (n+2014)^{n+p}$. Chứng minh rằng $a_p\equiv 2014^p+2015^p (mod p^2)$.
 
Bài 4: Cho $\Delta ABC$ nhọn $(AB<AC)$, đường cao $AL, BD, CE$ cắt nhau tại $H$. Đường tròn $(O)$ đi qua $A,E$ tiếp xúc $BC$ tại $M$. Gọi $K$ là giao điểm của $ME$ với đường tròn $(AED)$ và $M$ là giao điểm của $KD$ với $BC$. Chứng minh $MH, KL, AN$ đồng quy.
 
Bài 5: Cho $A=\{a_1,a_2,...,a_n\}$ với $2\le n\le 2014$ và $a_i\le 2014$ sao cho nếu tồn tại $(a_i+a_j)\le 2014$ thì $(a_i+a_j)\in A$. Chứng minh rằng $\dfrac{a_1+a_2+...+a_n}{2}\ge \dfrac{2015}{2}$.
Spoiler


#11 khanghaxuan

khanghaxuan

    Trung úy

  • Thành viên
  • 969 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Bất đẳng thức , Tổ Hợp .

Đã gửi 26-10-2014 - 18:07

 

Vòng 2 :

Bài 1: Tìm đa thức $P(x)$ khác đa thức không sao cho $[P(x)]^n=P(x^n)$ với $\forall x\in\mathbb R$ và $n\ge 1$.
 
Bài 2: Có bao nhiêu số tự nhiên có 10 chữ số khác nhau trong đó các chữ số $1,2,3,4,5$ được sắp xếp theo thứ tự đó từ trái qua phải nhưng các số $1,2,3,4,5,6$ thì không.
 
Bài 3: Cho số nguyên tố $p$. Gọi $a_p$ là hệ số của $n^p$ trong $\sum_{k=0}^pC_p^k (n+2014)^{n+p}$. Chứng minh rằng $a_p\equiv 2014^p+2015^p (mod p^2)$.
 
Bài 4: Cho $\Delta ABC$ nhọn $(AB<AC)$, đường cao $AL, BD, CE$ cắt nhau tại $H$. Đường tròn $(O)$ đi qua $A,E$ tiếp xúc $BC$ tại $M$. Gọi $K$ là giao điểm của $ME$ với đường tròn $(AED)$ và $M$ là giao điểm của $KD$ với $BC$. Chứng minh $MH, KL, AN$ đồng quy.
 
Bài 5: Cho $A=\{a_1,a_2,...,a_n\}$ với $2\le n\le 2014$ và $a_i\le 2014$ sao cho nếu tồn tại $(a_i+a_j)\le 2014$ thì $(a_i+a_j)\in A$. Chứng minh rằng $\dfrac{a_1+a_2+...+a_n}{2}\ge \dfrac{2015}{2}$.
Spoiler

 

Bạn xem lại đề . HÌnh như bài 4 có vấn đề . 


Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .

- A.Lincoln -

#12 hoangtubatu955

hoangtubatu955

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 429 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên
  • Sở thích:Combinatorics, Graph Theory, Number Theory.
    Incidences, Sum-product problem.

Đã gửi 26-10-2014 - 22:05

BĐT này thuần nhất mà bạn. Bậc của hai vế đều là $-1$

Sai rồi kìa Huy.
Cái dưới mẫu còn chứ một hạng tử bậc 1, 1 hạng tử bậc 2 mà. Không thuần nhất.



#13 Min Nq

Min Nq

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 160 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP.HCM

Đã gửi 21-05-2017 - 10:16

 

Bài 1: Tìm đa thức $P(x)$ khác đa thức không sao cho $[P(x)]^n=P(x^n)$ với $\forall x\in\mathbb R$ và $n\ge 1$.
 
Bài 2: Có bao nhiêu số tự nhiên có 10 chữ số khác nhau trong đó các chữ số $1,2,3,4,5$ được sắp xếp theo thứ tự đó từ trái qua phải nhưng các số $1,2,3,4,5,6$ thì không.

 

Bài 1

Từ điều kiện trên suy ra hệ số bậc cao nhất của $P$ là 1.$deg(P)=k,deg(Q)=t,t<k$ với 

$P=x^{k}+Q$

Thay vào đẳng thức đã cho:

$(x^{k}+Q(x))^{n}=x^{kn}+Q(x^n)$

Triệt tiêu $x^{kn}$ ở hai vế:

$\sum_{i=1}^{n-1}\binom{n}{i}(x^k)^i[Q(x)]^{n-i}=Q(x^n)-[Q(x)]^n$

Mọi hạng tử ở vế trái đều có bậc có dạng $t(n-i)+ki=nt+(k-t)i> nt$

Vế phải có bậc $\leq nt$

Suy ra $Q$ là hằng số. Thử lại suy ra $Q$ đồng nhất $0$. 

Vậy $P=x^k$ với $k$ nguyên dương tùy ý

Bài 2

Có $\binom{10}{6}$ vị trí cho bộ các số từ 1 tới 6. Trong đó có:

  • $\binom{9}{6}$ vị trí không chứa hàng đầu tiên của số có 10 chữ số. Còn lại 4 chữ số ${0,7,8,9}$ có $3.3.2.1$ cách xếp
  • $\binom{9}{5}$ vị trí chứa hàng đầu tiên của số có 10 chữ số. Còn lại ${0,7,8,9}$ có $4!$ cách xếp

Trong mỗi vị trí của bộ 6 nói trên thì số 6 không đứng cuối cùng, nên có 5 khả năng cho số 6. Còn lại các số từ 1 tới 5 thì đã xác định với mỗi khả năng của 6.

Kết luận: Có $(\binom{9}{6}.3.3.2.1+\binom{9}{5}.4!).5$ số có 10 chữ số thỏa mãn



#14 Nguyenphuctang

Nguyenphuctang

    Sĩ quan

  • Banned
  • 499 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:Đang tải

Đã gửi 27-06-2017 - 18:24

Câu hình:

chọn đội tuyển vmo tphcm 2014 - 2015.png

Gọi $I$ là tâm $( ADE )$. $J = AK \cap IO$.

Dễ thấy $AO \perp DE, IK \perp DE$ Suy ra $AO \parallel IK$.

Chứng minh tương tự: $AI \parallel OK$ suy ra $AOKI$ là hình bình hành.

$IO$ là đường trung trực của $AM$. mà $J$ thuộc $IO$ nên $JA = JM = JK$ suy ra $AM \perp MK$.






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh