Đến nội dung


Hình ảnh

có bao nhiêu bộ số $(x_{1},x_{2}...,x_{2014})$ thỏa


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 tohoproirac

tohoproirac

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 92 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Nguyễn Du
  • Sở thích:Toán Toán Toán ^^
    Tổ hợp, BĐT, Số học,Đa thức, PTH, Hình học, ...

Đã gửi 15-10-2014 - 14:26

có bao nhiêu bộ số $(x_{1},x_{2}...,x_{2014})$ thỏa 

$x_{1}=x_{2014}=1;x_{i}\in (1,2,3) x_{i}\neq x_{i+1}(i=\bar{1,2013})$


<3 Mãi mãi một tình yêu <3

:wub: bruce_h4h.gif

赵薇苏有朋


#2 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1960 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 20-11-2018 - 17:07

có bao nhiêu bộ số $(x_{1},x_{2}...,x_{2014})$ thỏa 

$x_{1}=x_{2014}=1;x_{i}\in (1,2,3) x_{i}\neq x_{i+1}(i=\bar{1,2013})$

Trước hết, ta xét bài toán đơn giản hơn :

Trong tất cả các bộ số $(x_1,x_2,...,x_k)$ trong đó $k\geqslant 2$, thỏa mãn :

$\left\{\begin{matrix}x_1=1\\x_i\in \left \{ 1,2,3 \right \},i=\overline{1,k}\\x_i\neq x_{i+1},\forall i=\overline{1,k-1} \end{matrix}\right.$

Có bao nhiêu bộ có $x_k\neq 1$ ?

 

+ Giả sử khi $k=n-3$, ta có $A_{n-3}$ bộ số có $x_{n-3}\neq 1$ và $B_{n-3}$ bộ số có $x_{n-3}=1$

+ Khi $k=n-2$ :

   Từ mỗi bộ số có $x_{n-3}\neq 1$ có thể viết thêm $x_{n-2}$ để tạo ra $1$ bộ số có $x_{n-2}\neq 1$ và $1$ bộ số có $x_{n-2}=1$

   Và từ mỗi bộ số có $x_{n-3}=1$ có thể viết thêm $x_{n-2}$ để tạo ra $2$ bộ số có $x_{n-2}\neq 1$

   Vậy khi $k=n-2$, ta có $A_{n-2}=2B_{n-3}+A_{n-3}$ bộ số có $x_{n-2}\neq 1$ và $B_{n-2}=A_{n-3}$ bộ số có $x_{n-2}=1$

+ Khi $k=n-1$ : Lập luận tương tự,

   Khi $k=n-1$, ta có $A_{n-1}=2B_{n-2}+A_{n-2}=2B_{n-3}+3A_{n-3}$ bộ số có $x_{n-1}\neq 1$ và $B_{n-1}=A_{n-2}$ bộ số có $x_{n-1}=1$

 

Ta rút ra hệ thức $A_{n-1}=2A_{n-3}+A_{n-2}$ hay $A_{n-1}-A_{n-2}-2A_{n-3}=0$

Phương trình đặc trưng tương ứng $z^2-z-2=0$ có 2 nghiệm là $\alpha =2$ và $\beta =-1$

Dễ thấy khi $k=2$ thì $A_2=2$ ; khi $k=3$ thì $A_3=2$

Đặt $A_k=u_{k-1}$, ta có $u_{k-1}=C\left ( \alpha ^{k-1}-\beta ^{k-1} \right )$

Cho $k=2\Rightarrow u_1=A_2=C(\alpha -\beta )\Rightarrow C=\frac{A_2}{\alpha -\beta }=\frac{2}{3}$

Vậy $A_k=u_{k-1}=\frac{2}{3}\left ( \alpha ^{k-1}-\beta ^{k-1} \right )$

 

Trở lại bài toán của @tohoproirac. Bài toán đó cũng tương đương bài toán vừa xét khi $k=2013$

Do đó đáp án là $A_{2013}=u_{2012}=\frac{2}{3}\left ( 2^{2012}-1 \right )$ bộ số.


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh