Cho x,y là các số thực dương.Tìm GTNN của:$\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}$
Cho x,y là các số thực dương.Tìm GTNN của:$\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}$
#1
Đã gửi 15-10-2014 - 16:59
#2
Đã gửi 15-10-2014 - 17:45
Ta có kết quả sau: Với $a>0$ thì $\frac{1}{\sqrt{1+a^3}}=\frac{1}{\sqrt{(1+a)(1-a+a^2)}}\geq \frac{2}{2+a^2}$
Áp dụng kết quả này ta có
$\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4}{y^3+(x+y^3)}}=\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{2y}{x})^3}}+\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{x+y}{y})^3}}\geq \frac{2}{2+(\frac{2y}{x})^2}+\frac{4}{2+(\frac{x+y}{y})^2}=\frac{2x^2}{2x^2+4y^2}+\frac{4y^2}{2y^2+(x^2+2xy+y^2)}\geq \frac{2x^2}{2x^2+4y^2}+\frac{4y^2}{2y^2+x^2+y^2+x^2+y^2}=1$
Min=$1$ khi .....
A-L:)
- ngohuongbg65, chieckhantiennu, nguyenhongsonk612 và 1 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 17-10-2014 - 14:14
cảm ơn nhiều nha
#4
Đã gửi 17-10-2014 - 14:16
bạn có chuyên đề nào về chứng minh các điểm thẳng hàng không mình đang cần gấp
#5
Đã gửi 20-04-2021 - 20:16
Ta có: $\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}-\frac{x^2}{x^2+2y^2}=\frac{\frac{4x^3y^2(x-y)^2}{(x^3+8y^3)(x^2+2y^2)^2}}{\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\frac{x^2}{x^2+2y^2}}\geqslant 0\Rightarrow \sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}\geqslant \frac{x^2}{x^2+2y^2}$ (1)
$\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}-\frac{2y^2}{x^2+2y^2}=\frac{\frac{4y^3(x-y)^2(x^2+xy+2y^2)}{[y^3+(x+y)^3](x^2+2y^2)^2}}{\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}+\frac{2y^2}{x^2+2y^2}}\geqslant 0\Rightarrow \sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}\geqslant \frac{2y^2}{x^2+2y^2}$ (2)
Cộng theo vế hai bất đẳng thức (1) và (2), ta được: $\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}\geqslant \frac{x^2+2y^2}{x^2+2y^2}=1$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y>0$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 20-04-2021 - 20:17
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh