Đến nội dung


Hình ảnh

3 con gặp nhau ở trọng tâm của tam giác


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 20-10-2014 - 22:28

Có $3$ con chó ở $3$ đỉnh của $1$ tam giác đều $ABC$ cạnh $a$ . Con chó ở đỉnh $A$ chạy về phía con chó đỉnh $B$, con $B$ chạy về phía con $C$, con $C$ chạy vệ phía con $A$ ( giả sử vận tốc các con chó như nhau). CMR 3 con gặp nhau ở trọng tâm của tam giác.

 

PS: 3 con chó đều chạy cùng 1 lúc nên khi chạy tam giác sẽ nhỏ dần lại.


Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#2 Kool LL

Kool LL

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 370 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tp.HCM

Đã gửi 28-10-2014 - 03:07

Có $3$ con chó ở $3$ đỉnh của $1$ tam giác đều $ABC$ cạnh $a$ . Con chó ở đỉnh $A$ chạy về phía con chó đỉnh $B$, con $B$ chạy về phía con $C$, con $C$ chạy vệ phía con $A$ ( giả sử vận tốc các con chó như nhau). CMR 3 con gặp nhau ở trọng tâm của tam giác.

 

PS: 3 con chó đều chạy cùng 1 lúc nên khi chạy tam giác sẽ nhỏ dần lại.

 

G/s bước đi đầu tiên, mỗi con chó $A,B,C$ đã đi được một bước nhỏ $\epsilon>0$ tịnh tiến về phía $B,C,A$. Lúc này toạ độ vị trí 3 con chó là $A_1,B_1,C_1$ lần lượt trên các cạnh $AB,BC,CA$. Dễ dàng cm $A_1B_1C_1$ cũng là tam giác đều độ dài cạnh là $a_1<a$ và có tâm $G_1\equiv$ tâm $G$ của $\Delta$ đều $ABC$.

 

Bước đi thứ 2, 3 con chó từ vị trí $A_1,B_1,C_1$ đi tiếp bước nhỏ $\epsilon>0$ về phía $B_1,C_1,A_1$ và ở các vị trí $A_2,B_2,C_2$ lần lượt trên các cạnh $A_1B_1,B_1C_1,C_1,A_1$. Dễ dàng cm $A_2B_2C_2$ cũng là tam giác đều độ dài cạnh là $a_2<a_1$ và có tâm $G_2\equiv G_1$.

 

Cứ tiếp tục quá trình như thế, ta thấy các tam giác $A_nB_nC_n$ luôn là các tam giác đều có độ dài cạnh nhỏ dần $0\le a_n<a_{n-1}<...<a_1<a$ và luôn có tâm trùng nhau $G_n\equiv G_{n-1}\equiv...\equiv G_1\equiv G$.

 

Ta có dãy số $\{a_n\}$ giảm dần và bị chặn dưới bởi $0$ nên hội tụ về $0$. Nên khi $n$ đủ lớn thì $\Delta A_nB_nC_n$ suy biến thành một điểm $A_n\equiv B_n\equiv C_n\equiv G_n$.

 

Để ý rằng các trọng tâm $G\equiv G_1\equiv G_2\equiv ... \equiv G_n ...$. Từ đây ta có đpcm.

Ve Hinh.png Untitled.png

Do $\Delta ABC$ đều và $AA_1=BB_1=CC_1=\epsilon$ nên suy ra $\Delta A_1B_1B=\Delta B_1C_1C=\Delta C_1A_1A$ (c.g.c)

$\Rightarrow A_1B_1=B_1C_1=C_1A_1\Rightarrow \Delta A_1B_1C_1$ đều.

Ta có BDT $\Delta A_1B_1B$ : $a_1=A_1B_1<BA_1+BB_1=a$

Gọi $G$ là tâm $\Delta ABC$. Ta có $\Delta GAA_1=\Delta GBB_1=\Delta GCC_1$ (c.g.c)

$\Rightarrow GA_1=GB_1=GC_1$. Do đó $\Delta A_1B_1C_1$ có tâm $G_1\equiv$ tâm $G$ của $\Delta ABC$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kool LL: 28-10-2014 - 03:59





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh