Chủ đề này có 5 trả lời

[NgocHieuKHTN]

1, Cho k,n là các số nguyên dương và $k\leqslant n$ CMR:

$C_{n}^{0}C_{n}^{k}+C_{n}^{1}C_{n}^{k+1}...+C{n}^{n-k}C{n}^{n}=C_{2n}^{n+k}$

 

2.Cho m,n là số nguyên dương.CMR:

$C_{m}^{0}+C_{m+1}^1+...+C_{m+n}^{n}=C_{m+n+1}^{n}$

 

3.Cho n là số nguyên dương lẻ. Tính tổng

$S=(C_{n}^1)^{2}+2(C_{n}^2)^{2}+...+n(C_{n}^n)^{2}$

 

[Hoang Tung 126]

1, Cho k,n là các số nguyên dương và $k\leqslant n$ CMR:

$C_{n}^{0}C_{n}^{k}+C_{n}^{1}C_{n}^{k+1}...+C{n}^{n-k}C{n}^{n}=C_{2n}^{n+k}$

 

2.Cho m,n là số nguyên dương.CMR:

$C_{m}^{0}+C_{m+1}^1+...+C_{m+n}^{n}=C_{m+n+1}^{n}$

 

3.Cho n là số nguyên dương lẻ. Tính tổng

$S=(C_{n}^1)^{2}+2(C_{n}^2)^{2}+...+n(C_{n}^n)^{2}$

Hình như các bài này nằm trong đề cương ôn tập của trường

[NgocHieuKHTN]

Hình như các bài này nằm trong đề cương ôn tập của trường

Nguồn: một số bài toán tổ hợp -Phạm Minh Phương, mấy bài ở trường khác mà , cái này nó phức tạp hơn tí thôi

À mà ,anh học lớp 11, em học lớp 10 đề cương khác nhau , em lấy ở trong sách của Thầy Phạm Minh Phương

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NgocHieuKHTN: 22-10-2014 - 16:32

[Hoang Tung 126]

Nguồn: một số bài toán tổ hợp -Phạm Minh Phương, mấy bài ở trường khác mà , cái này nó phức tạp hơn tí thôi

À mà ,anh học lớp 11, em học lớp 10 đề cương khác nhau , em lấy ở trong sách của Thầy Phạm Minh Phương

Nhưn anh thấy có 2 bài trong đề cương 11 mà

[NgocHieuKHTN]

Nhưn anh thấy có 2 bài trong đề cương 11 mà

Em cũng không biết ,em thấy trong đề cương 10 cũng có nhưng nó đơn giản

Anh lam giup em bai 1 a.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NgocHieuKHTN: 22-10-2014 - 17:35

[ChiLanA0K48]

1, Cho k,n là các số nguyên dương và $k\leqslant n$ CMR:

$C_{n}^{0}C_{n}^{k}+C_{n}^{1}C_{n}^{k+1}...+C{n}^{n-k}C{n}^{n}=C_{2n}^{n+k}$

 

2.Cho m,n là số nguyên dương.CMR:

$C_{m}^{0}+C_{m+1}^1+...+C_{m+n}^{n}=C_{m+n+1}^{n}$

Bài 1:

Xét khai triển $\left ( x+1 \right )^{n}.\left ( \frac{1}{x}+1 \right )^{n}=\sum_{i=0}^{n}C_{n}^{i}.x^{i}\sum _{j=0}^{n}C_{n}^{j}.x^{-j}=\sum _{i=0}^{n}\sum _{j=0}^{n}C_{n}^{i}.C_{n}^{j}.x^{i-j}$

Hệ số của $x^{k}$ trong khai triển trên là $\sum _{i=0}^{n}\sum _{j=0}^{n}C_{n}^{i}.C_{n}^{j}$ với $i-j=k\Leftrightarrow i=j+k$

$\Rightarrow$ hệ số sẽ bằng $\sum_{j=0}^{n}C_{n}^{j}.C_{n}^{k+j}$

 

Mặt khác $\left ( x+1 \right )^{n}.\left ( \frac{1}{x}+1 \right )^{n}=\frac{\left ( x+1 \right )^{2n}}{x^{n}}=\sum _{i=0}^{2n}C_{2n}^{i}.x^{i-n}$

Hệ số của $x^{k}$ trong khai triển là $\sum_{i=0}^{2n}C_{2n}^{i}$ với $i-n=k\Leftrightarrow i=n+k$ $\Rightarrow$ hệ số là $C_{2n}^{n+k}$

$\Rightarrow \sum_{j=0}^{n}C_{n}^{j}.C_{n}^{k+j}=C_{2n}^{n+k}$

đpcm

Bài 2:

Đẳng thức cần chứng minh tương đương với $\sum_{i=0}^{n}C_{i+n}^{m}=C_{n+m+1}^{m+1}$

Xét $\sum_{i=0}^{n}\left ( 1+x \right )^{m+i}=\frac{\left ( 1+x \right )^{n+m+1}-(1+x)^{m}}{x}$

$\sum_{i=0}^{n}(1+x)^{i+m}=\sum _{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{i+m}C_{i+m}^{j}.x^{j}$

$\Rightarrow$ hệ số của $x^{m}$ trong khai triển trên là $\sum_{i=0}^{n}C_{i+m}^{m}$

Mặt khác hệ số của $x^{m}$ là hệ số của $x^{m}$ trong $\frac{\left ( 1+x \right )^{m+n+1}-\left ( 1+x \right )^m}{x}$ và bằng $C_{m+n+1}^{m+1}$

suy ra đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ChiLanA0K48: 23-10-2014 - 00:58