Đến nội dung


Hình ảnh

Yên Bái TST 2015


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 13 trả lời

#1 banhgaongonngon

banhgaongonngon

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1046 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Yên Bái
  • Sở thích:"Flower"

Đã gửi 23-10-2014 - 12:12

KÌ THI LẬP ĐỘI TUYỂN DỰ THI

CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM 2015

 

Môn thi: Toán

Thời gian: 180 phút (không kể giao đề)

 

Ngày thi thứ nhất: 22/10/2014

 

Câu 1

Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} 4x^{2}y+\sqrt{x}=3\\ 2x^{2}y\left ( 1+\sqrt{4y^{2}+1} \right )=x+\sqrt{x^{2}+1} \end{matrix}\right.$

 

Câu 2

Tìm tất cả các hàm $f:\left ( 0,\propto \right )\rightarrow \left ( 0,\propto \right )$ thỏa mãn

$x^{2}\left ( f(x)+f(y) \right )=\left ( x+y \right )f\left ( y f\left ( x \right ) \right )\forall x,y\in \left ( 0,\propto \right )$

 

Câu 3

Cho tam giác đều $ABC$. $P$ là một điểm bất kì trên đường tròn ngoại tiếp tam giác. Đường thẳng qua $P$ tương ứng vuông góc với $BC,CA,AB$ cắt các đường thẳng $AB,BC,CA$ theo thứ tự tại $I,G,K$. Chứng minh rằng $I,G,K$ thẳng hàng

 

Câu 4

Tìm các số nguyên dương $x,y$ thỏa mãn phương trình

$3^{x-1}+1=2^{y}$

 

Câu 5

Trong mặt phẳng cho $2015$ điểm phân biệt $A_{1},A_{2},...,A_{2015}$

Chứng minh rằng, trên bất kì đường tròn có bán kính bằng $1$ ta luôn tìm được điểm $M$ thỏa mãn tính chất

$MA_{1}+MA_{2}+...+MA_{2015}\geq 2015$

 

Ngày thi thứ hai: 23/10/2014

 

Câu 1

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn

$3\left ( x^{4}+y^{4}+z^{4} \right )-7\left ( x ^{2}+y^{2}+z^{2}\right )+12=0$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$P=\frac{x^{2}}{y+2z}+\frac{y^{2}}{z+2x}+\frac{z^{2}}{x+2y}$

 

Câu 2

Cho dãy số $\left ( x_{n} \right )$ xác định bởi: $ln\left ( 1+x_{n}^{2} \right )+nx_{n}=1$ với mọi $n\in \mathbb{N}*$

Tìm giới hạn $\lim \frac{n\left ( 1-nx_{n} \right )}{x_{n}}$

 

Câu 3

Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ cắt nhau tại hai điểm $A$ và $B$. Trên đường thẳng $AB$ lấy điểm $P$. Từ $P$ vẽ hai tiếp tuyến $PC,PD$ lần lượt tới $(O)$ và $(O')$ ($C,D$ là tiếp điểm). Vẽ tiếp tuyến chung $MN$ của hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ với $M\in \left ( O \right )$ và $N \in \left ( O' \right )$.

Chứng minh ba đường thẳng $AB,CM,DN$ đồng quy

 

Câu 4

Trong một giải thi đấu thể thao vòng tròn một lượt có $n$ vận động viên $A_{1},A_{2},...,A_{n}$ $\left ( n>1 \right )$ tham gia. Mỗi vận động viên thi đấu với tất cả vận động viên còn lại theo nguyên tắc đấu không có hòa. Đặt $W_{k}$ và $L_{k}$ là số trận thắng và số trận thua tướng ứng của vận động viên $A_{k}$ với $k=\overline{1;n}$

Chứng minh rằng

$\sum_{k=1}^{n}W_{k}^{2}=\sum_{k=1}^{n}L_{k}^{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 26-10-2014 - 19:32


#2 Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Physics

Đã gửi 23-10-2014 - 12:19

 

Đề này ảo thật, bài 3 là bổ đề đường thẳng Simson , bài 4 số học lớp 9 dùng tính chia hết , bài 5 là đề thi hsg toán tp hà nội năm 2013 khi thay 2015 bởi 2013 . Bài số 1 ngày 2 thi đã giải nhiều lần trên diễn đàn ,bài 3 thì nằm trong nâng cao pt toán lớp 9 tập 2 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Daicagiangho1998: 23-10-2014 - 12:42


#3 Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Physics

Đã gửi 23-10-2014 - 12:41

 

KÌ THI LẬP ĐỘI TUYỂN DỰ THI

CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM 2015

 

Môn thi: Toán

Thời gian: 180 phút (không kể giao đề)

 

Ngày thi thứ nhất: 22/10/2014

 

Câu 2

Tìm tất cả các hàm $f:\left ( 0,\propto \right )\rightarrow \left ( 0,\propto \right )$ thỏa mãn

$x^{2}\left ( f(x)+f(y) \right )=\left ( x+y \right )f\left ( y \left ( x \right ) \right )\forall x,y\in \left ( 0,\propto \right )$

 

 

  Ta thấy hàm  $f\equiv 0$ thỏa mãn bài toán

 

-Xét hàm $f$ khác 0

 

-Cho $y=-x= > x^2(f(x)+f(-x))=(x-x)f(-xf(x))=0= > f(x)+f(-x)=0= > f(x)=-f(-x)$   (1)

 

    Do đó $f$ là hàm lẻ

 

-Thay $x$ bởi $-x$ và áp dụng (1)

 

  $= > (-x)^2(f(-x)+f(y))=(y-x)f(yf(-x))= > x^2(f(y)-f(x))=(y-x)f(-yf(x))=(y-x).(-f(yf(x)))=(x-y)f(yf(x))= > x^2(f(y)-f(x))=(x-y)f(yf(x))$   (2)

 

- Từ (2) và đề bài 

 

$= > \left\{\begin{matrix} x^2(f(y)-f(x))=(x-y)f(yf(x)) & \\ x^2(f(x)+f(y))=(x+y)f(yf(x))& \end{matrix}\right.= > x^2(f(y)-f(x)).(x+y)f(yf(x))=x^2(f(x)+f(y)).(x-y)f(yf(x))= > (x+y)(f(y)-f(x))=(x-y)(f(x)+f(y))$  

    (Do hàm f khác 0)

 

$= > xf(y)-xf(x)+yf(y)-yf(x)=xf(x)+xf(y)-yf(x)-yf(y)= > 2xf(x)=2yf(y)= > xf(x)=yf(y)$

 

-Cho $y=1= > xf(x)=f(1)=a= > f(x)=\frac{a}{x}$ với mọi số thực $a$

 

  Thay vào đề bài $= > x^2(\frac{a}{x}+\frac{a}{y})=(x+y)f(y.\frac{a}{x})=(x+y).\frac{a}{\frac{ay}{x}}=(x+y).\frac{x}{y}= > ax+\frac{x^2a}{y}=\frac{x^2}{y}+x= > (a-1)(x+\frac{x^2}{y})=0= > a=1= > f(x)=\frac{1}{x}$

 

           Vậy $f(x)=\frac{1}{x}$ và $f(x)\equiv 0$ thỏa mãn bài toán


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Daicagiangho1998: 23-10-2014 - 12:42


#4 hoctrocuaZel

hoctrocuaZel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1162 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lớp lang tận cùng!
  • Sở thích::( :3

Đã gửi 23-10-2014 - 14:37

Câu 5

Trong mặt phẳng cho $2015$ điểm phân biệt $A_{1},A_{2},...,A_{2015}$

Chứng minh rằng, trên bất kì đường tròn có bán kính bằng $1$ ta luôn tìm được điểm $M$ thỏa mãn tính chất

$MA_{1}+MA_{2}+...+MA_{2015}\geq 2015$

 

Lấy M bất kì. Kẻ đường kính $MN=2$.

Theo BĐT tam giác, có: $MA_k+NA_k\geq 2$ (k từ 1 đến 2015).

Cộng vế theo vế, được:

$(MA_1+MA_2+..+MA_{2015})+(NA_1+NA_2+...+NA_{2015})\geq 2.2015$

Vậy phải có ít nhất 1 trong 2 vế trên lớn hơn bằng 2015.

Giả sử đó là $M$. đpcm :D


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Huong TH Phan: 23-10-2014 - 15:35

Hướng TH Phan
$(1)$ Lòng như mây trắng
$(2)$: Forever Young
$(3)$: You are the apple of my eye
Người ta thường nói tuổi thanh xuân như một cơn mưa rào, nếu bị ướt một lần thì bạn vẫn mong muốn thêm 1 lần nữa ...
#hoctrocuaZel
:(

#5 hoctrocuaZel

hoctrocuaZel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1162 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lớp lang tận cùng!
  • Sở thích::( :3

Đã gửi 23-10-2014 - 15:34

Câu 4

Tìm các số nguyên dương $x,y$ thỏa mãn phương trình

$3^{x-1}+1=2^{y}$

 

Câu số học :D

Từ PT, có: $3^{x-1}=2^y-1$, dẫn đến y chẵn.

Đặt $y=2h$, có: $3^{x-1}=4^h-1=(2^h-1)(2^h+1)$.

VÌ $2^h-1<2^h+1$ nên ta có:

TH1: $2^h-1=1$, được: $h=1;y=2;x=2$.

TH2: $\left\{\begin{matrix} 2^h-1=3^m(*)\\ 2^h+1=3^n\\ m+n=x-1 \end{matrix}\right.$

Ở PT (*), ta thấy giống vs PT ở đầu bài.

Dùng phương pháp xuống thang, ta nhận thấy $y=0$, trường hợp này ptvn :D


Hướng TH Phan
$(1)$ Lòng như mây trắng
$(2)$: Forever Young
$(3)$: You are the apple of my eye
Người ta thường nói tuổi thanh xuân như một cơn mưa rào, nếu bị ướt một lần thì bạn vẫn mong muốn thêm 1 lần nữa ...
#hoctrocuaZel
:(

#6 hoangtubatu955

hoangtubatu955

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 429 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên
  • Sở thích:Combinatorics, Graph Theory, Number Theory.
    Incidences, Sum-product problem.

Đã gửi 25-10-2014 - 15:01

Câu số học :D

Từ PT, có: $3^{x-1}=2^y-1$, dẫn đến y chẵn.

Đặt $y=2h$, có: $3^{x-1}=4^h-1=(2^h-1)(2^h+1)$.

VÌ $2^h-1<2^h+1$ nên ta có:

TH1: $2^h-1=1$, được: $h=1;y=2;x=2$.

TH2: $\left\{\begin{matrix} 2^h-1=3^m(*)\\ 2^h+1=3^n\\ m+n=x-1 \end{matrix}\right.$

Ở PT (*), ta thấy giống vs PT ở đầu bài.

Dùng phương pháp xuống thang, ta nhận thấy $y=0$, trường hợp này ptvn :D

 Bạn nhầm một chút nhé.
Đầu tiên cái đó phải xét trường hợp $x=1$ thì $y=1$ nữa chứ, chưa có $y$ chẵn đâu.
Thực ra ngoài cách ngắn của bạn đấy ( Phải xét trường hợp nữa nhé) thì nhìn cái dạng này chúng ta có thể nghĩ đến bổ đề LTE.
Thật vậy: +Với $x=1$ thì $y=1$.
Với $x>1$ thì ta phải có $y$ chẵn, tức $y=2y_0$, lúc này phương trình đã cho trở thành:
$3^{x-1}=4^{y_0}-1$ Mặt khác chú ý rằng theo bổ đề LTE thì $v_3^(4^{y_0}-1)=1+v_3(y_0)$. Do đó: $ y_0=3^{x-2}.l $ với $l$ không chia hết cho 3.
Đến đây thay lại vào phương trình ta có:
$ (4^l)^{3^{x-2}}-1=3^{x-1}$. (1)
Để ý rằng với $x>2$ thì $3^{x-2}>x-1 $ do đó nếu $x>2$ thì (1) có $VT>VP$ nên phải có $x=2$ thử lại thì $y=2.$
Kết luận: $(x,y)=(1,1); (x;y)=(2;2)$



#7 hoangtubatu955

hoangtubatu955

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 429 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên
  • Sở thích:Combinatorics, Graph Theory, Number Theory.
    Incidences, Sum-product problem.

Đã gửi 25-10-2014 - 15:51

Câu 2

Cho dãy số $\left ( x_{n} \right )$ xác định bởi: $ln\left ( 1+x_{n}^{2} \right )+nx_{n}=1$ với mọi $n\in \mathbb{N}*$

Tìm giới hạn $\lim \frac{n\left ( 1-nx_{n} \right )}{x_{n}}$

 

 

 

Đầu tiên dễ dàng chứng minh được $ x_n $ là duy nhất và nằm trong $(0;1)$.
$Lim x_n=0$ , $Lim nx_n=1$
Mặt khác để ý rằng $Lim_[x \to 0]  \frac{ln(1+x)}{x} =0$ từ đó giới hạn cần tìm chính là $Lim nx_n=1 $



#8 BUIGIAHUY

BUIGIAHUY

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết

Đã gửi 25-10-2014 - 17:04

Daicagiangho1998

chỗ thay y=-x không ổn. Bởi x>0 => y<0 trái với MXD của y 



#9 hoangtubatu955

hoangtubatu955

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 429 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên
  • Sở thích:Combinatorics, Graph Theory, Number Theory.
    Incidences, Sum-product problem.

Đã gửi 25-10-2014 - 19:16

Câu hàm có thể làm đơn giải như:

Đầu tiên ta sẽ chứng minh $f$ đơn ánh. Thật vậy nếu tồn tại $x_1,x_2$ mà $f(x_1)=f(x_2)$ thì từ giả thiết cho:
$\frac{x_1^2}{x_1+y}=\frac{x_2^2}{x_2+y}$ tương đương $x_1=x_2$ ( do $x_1, x_2, y$ dương)

Từ đây cho $x=y=1$ ta có $f(1)=1.$

Cho x=1 vào giải thiết ta có ngay: $f(y)=\frac{1}{y}$
Thử lại thấy hàm này thỏa mãn.
 



#10 Hoathuy21990

Hoathuy21990

    Lính mới

  • Thành viên
  • 6 Bài viết

Đã gửi 26-10-2014 - 16:22

$Cau1 Ngay1: Thuchienlienhop ta duoc: xy=\frac{1}{2}.The vao pt(1)roi giaiduoc x=1,y=1/2$

liên hợp kiểu gì hả bạn.Mình thấy cứ kỳ kỳ thế nào ý



#11 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 26-10-2014 - 19:32

  Ta thấy hàm  $f\equiv 0$ thỏa mãn bài toán

 

-Xét hàm $f$ khác 0

 

-Cho $y=-x= > x^2(f(x)+f(-x))=(x-x)f(-xf(x))=0= > f(x)+f(-x)=0= > f(x)=-f(-x)$   (1)

 

    Do đó $f$ là hàm lẻ

 

-Thay $x$ bởi $-x$ và áp dụng (1)

 

  $= > (-x)^2(f(-x)+f(y))=(y-x)f(yf(-x))= > x^2(f(y)-f(x))=(y-x)f(-yf(x))=(y-x).(-f(yf(x)))=(x-y)f(yf(x))= > x^2(f(y)-f(x))=(x-y)f(yf(x))$   (2)

 

- Từ (2) và đề bài 

 

$= > \left\{\begin{matrix} x^2(f(y)-f(x))=(x-y)f(yf(x)) & \\ x^2(f(x)+f(y))=(x+y)f(yf(x))& \end{matrix}\right.= > x^2(f(y)-f(x)).(x+y)f(yf(x))=x^2(f(x)+f(y)).(x-y)f(yf(x))= > (x+y)(f(y)-f(x))=(x-y)(f(x)+f(y))$  

    (Do hàm f khác 0)

 

$= > xf(y)-xf(x)+yf(y)-yf(x)=xf(x)+xf(y)-yf(x)-yf(y)= > 2xf(x)=2yf(y)= > xf(x)=yf(y)$

 

-Cho $y=1= > xf(x)=f(1)=a= > f(x)=\frac{a}{x}$ với mọi số thực $a$

 

  Thay vào đề bài $= > x^2(\frac{a}{x}+\frac{a}{y})=(x+y)f(y.\frac{a}{x})=(x+y).\frac{a}{\frac{ay}{x}}=(x+y).\frac{x}{y}= > ax+\frac{x^2a}{y}=\frac{x^2}{y}+x= > (a-1)(x+\frac{x^2}{y})=0= > a=1= > f(x)=\frac{1}{x}$

 

           Vậy $f(x)=\frac{1}{x}$ và $f(x)\equiv 0$ thỏa mãn bài toán

 

Vì $x,y>0$ nên thay $y=-x$ là sai.


Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#12 hoangtubatu955

hoangtubatu955

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 429 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên
  • Sở thích:Combinatorics, Graph Theory, Number Theory.
    Incidences, Sum-product problem.

Đã gửi 26-10-2014 - 19:53

Vì $x,y>0$ nên thay $y=-x$ là sai.

ANh thử xem cách làm của em xem đúng không ạ. Nhìn cũng đơn giản.

 

@namcpnh: Chú giải rồi à, xem ko kĩ, làm nãy h ngồi bấm bài giải. Ý tưởng anh em ta y hệt nhau :wub: .


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 26-10-2014 - 19:55


#13 chardhdmovies

chardhdmovies

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 638 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:thpt chuyên nguyễn du
  • Sở thích:đá banh, chém gió, đánh cờ

Đã gửi 01-11-2014 - 05:20

Đề này ảo thật, bài 3 là bổ đề đường thẳng Simson , bài 4 số học lớp 9 dùng tính chia hết , bài 5 là đề thi hsg toán tp hà nội năm 2013 khi thay 2015 bởi 2013 . Bài số 1 ngày 2 thi đã giải nhiều lần trên diễn đàn ,bài 3 thì nằm trong nâng cao pt toán lớp 9 tập 2 

bài nào vậy ạ

 

NTP


                                                                                    chúng tôi là 3 người từ lớp 10 cá tính:NRC,NTP,A-Q


#14 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3795 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 05-11-2014 - 22:07

Câu 1

Phương trình thứ hai của hệ tương đương với:

$$f(2y)=f\left(\frac{1}{x}\right)$$

Với: $f(t)=t+t\sqrt{t^2+1}$.

Dễ thấy hàm số này đồng biến


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh