Chủ đề này có 1 trả lời

[WhjteShadow]

Cho $f(x;y)=ax^2+2bxy+cy^2$ với $a,b,c\in \mathbb{R}$.

Cho $D=ac-b^2>0$. Chứng minh rằng tồn tại $x,y\in \mathbb{Z}$, $x^2+y^2\neq 0$ để :

$$f(x;y)\leq 2\sqrt{\frac{D}{3}}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 23-10-2014 - 19:35

[nhungvienkimcuong]

Cho $f(x;y)=ax^2+2bxy+cy^2$ với $a,b,c\in \mathbb{R}$.

Cho $D=ac-b^2>0$. Chứng minh rằng tồn tại $x,y\in \mathbb{Z}$, $x^2+y^2\neq 0$ để :

$$f(x;y)\leq 2\sqrt{\frac{D}{3}}$$

Đây là một trường hợp của định lí Minkowski. Các bước chứng minh như sau (khối lượng tính toán nhiều  )

 

Chỉ xét với $a\ge 0$, khi đó $f(x,y)\ge 0$. Gọi $S$ là tập hợp các cặp số nguyên $(x,y)$ sao cho $f(x,y)>0$. Đặt $$F=f(u,v)=\min_{(x,y)\in S}f(x,y)$$

thì $\text{UCLN}(u,v)=1$ nên tồn tại $s,t$ sao cho $us-vt=1$. Tiếp theo đặt hàm số $$g(x,y):=f(ux+ty,vx+sy)=f(u,v)x^2+2Bxy+f(s,t)y^2.$$

Vì $f(u,v)f(s,t)=B^2+D$ nên

\[g(x,y)=F\left(x+\frac{B}{F}y\right)^2+\frac{D}{F}y^2.\]

Đặt $m$ là số nguyên gần $\frac{B}{F}$ nhất thì $\left | m-\frac{B}{F} \right |\le \frac{1}{2}$. Dẫn tới

\[F\le g(m,-1)=F\left(m-\frac{B}{F} \right )^2+\frac{D}{F}\le \frac{F}{4}+\frac{D}{F}.\]

Bất đẳng thức cuối tương đương với yêu cầu đề bài.