Chủ đề này có 14 trả lời

[quangbinng]

Cho dãy khớp ngắn các không gian vector hữu hạn chiều

 

$0 \overset{f_0}{\rightarrow} V_1 \overset{f_1}{\rightarrow} V_2 \overset{f_2}{\rightarrow} ... \overset{f_{n-1}}{\rightarrow} V_n \overset{f_n}{\rightarrow} 0.$

 

(Nghĩa là $Im(f_i)=Ker(f_{i+1})$ với mọi $i=0,...,n-1$). Chứng minh rằng

 

$$dim V_1-dim V_2+...+(-1)^{n-1} dim V_n=0.$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quangbinng: 24-10-2014 - 20:13

[quangbinng]

Cho $V_1,V_2 \subseteq V$ là các không gian con. Chứng minh rằng dãy các ánh xạ

$$0 \overset{}{\rightarrow}  V_1 \cap V_2 \overset{f}{\rightarrow}  V_1\times V_2\overset{g}{\rightarrow} V_1+V_2 \overset{}{\rightarrow}  0,$$

trong đó $f(u)=(u,u)$ và $g(u,v)=u-v$ lập thành dãy khớp ngắn, tức là f là đơn ánh, g là toàn ánh, và $Ker(f)=Im(g)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quangbinng: 24-10-2014 - 20:17

[quangbinng]

Bài 14.11* Cho $V_1,V_2 \subseteq V$. Chứng minh rằng ta có dãy khớp

$$0 \rightarrow V/(V_1\cap V_2) \overset{f}{\rightarrow} V/V_1 \oplus V/V_2 \overset{g}{\rightarrow} V/(V_1+V_2) \rightarrow 0,$$

 

trong đó $f(v+V_1\cap V_2)=(v+V_1,v+V_2)$ và $g(v_1+V_1,v_2+V_2)=v_1-v_2+V_1+V_2.$

 

Lời giải:

 

 Trước hết ta kiểm tra $f$ và $g$ không phụ thuộc vào việc chọn phần tử đại diện. Sau đó tính $Ker f$, ta sẽ thấy $Ker f=V=\bar{0}.$

 

 Nếu $(v_1+V_1,v_2+V_2) \in Ker g$, thì $v_1-v_2=u_1+u_2$, trong đó $u_1 \in V_1, u_2 \in V_2$. Ta có $v_1+V_1=u_2+v_2+V_1$ và $v_2+V_2=u_2+v_2+V_2$. Do đó

 

$$(v_1+V_1,v_2+V_2)=(u_2+v_2+V_1,u_2+v_2+V_2) \in Im f$$

 

Ngược lại, dễ thấy $Im f \subseteq Ker g$ và $Im g=V/(V_1+V_2)$

 

 

 

 

 Em chép nguyên văn trong sách " Đại số tuyến tín qua các ví dụ và bài tập" của Lê Tuấn Hoa trang 94, bài không gian thương.

Ở đề bài em không hiểu tại sao người ta lại viết $V/V_1 \oplus V/V_2$ rồi ở dưới lại chuyển sang tích đề-các. mà cái $V/V_1 \oplus V/V_2$ em thấy cũng không hợp lý, vì giao của 2 không gian thương này đâu phải là vector không của chúng, mỗi không gian có 1 vector không riêng mà. Ai giải thích giúp em với ạ.

 

em thấy $Ker f=V=\bar{0}$ có phải sách viết nhầm không ạ, vì em thấy đáng lẽ $V_1\cap V_2$ mới là lớp không.

[leminhansp]

Cho $V_1,V_2 \subseteq V$ là các không gian con. Chứng minh rằng dãy các ánh xạ

$$0 \overset{}{\rightarrow}  V_1 \cap V_2 \overset{f}{\rightarrow}  V_1\times V_2\overset{g}{\rightarrow} V_1+V_2 \overset{}{\rightarrow}  0,$$

trong đó $f(u)=(u,u)$ và $g(u,v)=u-v$ lập thành dãy khớp ngắn, tức là f là đơn ánh, g là toàn ánh, và $Ker(f)=Im(g)$

 

Bạn có hơi bị sai, phải là $\text{Im}f=\ker g$. Bài này chỉ tính toán thôi.

 

Hiển nhiên, $f(u)=(0;0)\Longleftrightarrow (u,u)=(0,0)\Longleftrightarrow u=0$ nên $f$ là đơn ánh.

Với mọi $w\in V_1+V_2$ tồn tại $v_1\in V_1$, $v_2\in V_2$ sao cho $w=v_1+v_2$

Suy ra, tồn tại $(v_1, -v_2)\in V_1\times V_2$ mà $g(v_1,-v_2)=v_1-(-v_2)=v_1+v_2=w$. Tức là $g$ là toàn ánh.

Bây giờ $\forall (v_1,v_2)\in \text{Im}f\Longleftrightarrow v_1=v_2\Longleftrightarrow v_1-v_2=0\Longleftrightarrow g(v_1,v_2)=0\Longleftrightarrow (v_1,v_2)\in \ker g$

Do tất cả đều là tương đương nên suy ra $\text{Im}f=\ker g$

[leminhansp]

 Em chép nguyên văn trong sách " Đại số tuyến tín qua các ví dụ và bài tập" của Lê Tuấn Hoa trang 94, bài không gian thương.

Ở đề bài em không hiểu tại sao người ta lại viết $V/V_1 \oplus V/V_2$ rồi ở dưới lại chuyển sang tích đề-các. mà cái $V/V_1 \oplus V/V_2$ em thấy cũng không hợp lý, vì giao của 2 không gian thương này đâu phải là vector không của chúng, mỗi không gian có 1 vector không riêng mà. Ai giải thích giúp em với ạ.

 

Bạn đang nhầm lẫn 2 khái niệm tổng trực tiếp trong và tổng trực tiếp ngoài. Tổng trực tiếp ở bài toán là tổng trực tiếp ngoài (nó chính là tích đề các đấy) còn thứ bạn đang nói đến là tổng trực tiếp trong.

Tại sao cả 2 cái tổng trực tiếp này lại đều kí hiệu là $\oplus$ vì tổng trực tiếp ngoài hiểu theo nghĩa $(u,v)=(u,0)+(0,v)$ nó lại trở thành tổng trực tiếp trong!

Cứ dần dần bạn sẽ hiểu được chỗ đấy   (mà mình nói thế có đúng không nhỉ  )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhansp: 24-10-2014 - 23:13

[leminhansp]

Cho dãy khớp ngắn các không gian vector hữu hạn chiều

 

$0 \overset{f_0}{\rightarrow} V_1 \overset{f_1}{\rightarrow} V_2 \overset{f_2}{\rightarrow} ... \overset{f_{n-1}}{\rightarrow} V_n \overset{f_n}{\rightarrow} 0.$

 

(Nghĩa là $Im(f_i)=Ker(f_{i+1})$ với mọi $i=0,...,n-1$). Chứng minh rằng

 

$$dim V_1-dim V_2+...+(-1)^{n-1} dim V_n=0.$$

 

Bài trên chỉ cần làm với dãy khớp ngắn thôi

Dễ hiểu mọi dãy khớp ngắn $0\longrightarrow V_1\longrightarrow V_2\longrightarrow V_3\longrightarrow 0$

Đều có thể đưa về xét dãy khớp $0\longrightarrow V_1\longrightarrow V_2\longrightarrow V_2/V_1\longrightarrow 0$

Với $V_1$ là không gian con của $V_2$

Mà hiển nhiên $\dim V_1+\dim V_2/V_1=\dim V_2$ nên có điều phải chứng minh 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhansp: 24-10-2014 - 23:43

[quangbinng]

Bài trên chỉ cần làm với dãy khớp ngắn thôi

Dễ hiểu mọi dãy khớp ngắn $0\longrightarrow V_1\longrightarrow V_2\longrightarrow V_3\longrightarrow 0$

Đều có thể đưa về xét dãy khớp $0\longrightarrow V_1\longrightarrow V_2\longrightarrow V_2/V_1\longrightarrow 0$

Với $V_1$ là không gian con của $V_2$

Mà hiển nhiên $\dim V_1+\dim V_2/V_1=\dim V_2$ nên có điều phải chứng minh 

 

Cho em hỏi là làm sao để chỉ cần làm trên dãy khớp ngắn ạ, em thấy khớp ngắn thì ngoài ngắn ra nó còn có 1 cái là toàn ánh, 1 cái đơn ánh như ở #4, còn  chỉ có khớp thôi thì nó chỉ có điều kiện Im fn=Ker f(n+1) ạ, anh giải thích kỹ hơn được không ạ.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quangbinng: 25-10-2014 - 11:32

[leminhansp]

Cho em hỏi là làm sao để chỉ cần làm trên dãy khớp ngắn ạ, em thấy khớp ngắn thì ngoài ngắn ra nó còn có 1 cái là toàn ánh, 1 cái đơn ánh như ở #4, còn  chỉ có khớp thôi thì nó chỉ có điều kiện Im fn=Ker f(n+1) ạ, anh giải thích kỹ hơn được không ạ.

 

Chẳng hạn có dãy khớp $$0\rightarrow V_1\overset{f_1}{\rightarrow}V_2\overset{f_2}{\rightarrow}V_3\overset{f_3}{\rightarrow}V_4\rightarrow 0$$

Thì $\text{Im}f_i=\ker f_{i+1}$

Lại có các dãy khớp: $$0\rightarrow V_1\rightarrow \text{Im}f_1\rightarrow 0$$

Suy ra: $\dim V_1=\dim \text{Im}f_1$

$$0\rightarrow \ker f_2\rightarrow V_2\rightarrow \text{Im}f_2\rightarrow 0$$

Suy ra: $\dim V_2=\dim \ker f_2+\dim \text{Im}f_2=\dim \text{Im}f_1+\dim \ker f_3$

$$0\rightarrow \ker f_3\rightarrow V_3\rightarrow \text{Im}f_3\rightarrow 0$$

Suy ra: $\dim V_3=\dim \ker f_3+\dim \text{Im}f_3$

$$0\rightarrow V_4\rightarrow \text{Im}f_3\rightarrow 0$$

Suy ra: $\dim V_4=\dim \text{Im} f_3$

Từ đó: $$\dim V_1-\dim V_2+\dim V_3-\dim V_4=0$$

Bạn tự viết trường hợp tổng quát nhé!

[quangbinng]

Chẳng hạn có dãy khớp $$0\rightarrow V_1\overset{f_1}{\rightarrow}V_2\overset{f_2}{\rightarrow}V_3\overset{f_3}{\rightarrow}V_4\rightarrow 0$$

Thì $\text{Im}f_i=\ker f_{i+1}$

Lại có các dãy khớp: $$0\rightarrow V_1\rightarrow \text{Im}f_1\rightarrow 0$$

Suy ra: $\dim V_1=\dim \text{Im}f_1$

$$0\rightarrow \ker f_2\rightarrow V_2\rightarrow \text{Im}f_2\rightarrow 0$$

Suy ra: $\dim V_2=\dim \ker f_2+\dim \text{Im}f_2=\dim \text{Im}f_1+\dim \ker f_3$

$$0\rightarrow \ker f_3\rightarrow V_3\rightarrow \text{Im}f_3\rightarrow 0$$

Suy ra: $\dim V_3=\dim \ker f_3+\dim \text{Im}f_3$

$$0\rightarrow V_4\rightarrow \text{Im}f_3\rightarrow 0$$

Suy ra: $\dim V_4=\dim \text{Im} f_3$

Từ đó: $$\dim V_1-\dim V_2+\dim V_3-\dim V_4=0$$

Bạn tự viết trường hợp tổng quát nhé!

$$0\rightarrow \ker f_2\rightarrow V_2\rightarrow \text{Im}f_2\rightarrow 0$$

 

Ở dòng này thì toán tử tuyến tính từ $\ker f_2$ vào $V_2$ là gì ạ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quangbinng: 25-10-2014 - 16:48

[fghost]

$$0\rightarrow \ker f_2\rightarrow V_2\rightarrow \text{Im}f_2\rightarrow 0$$

 

Ở dòng này thì toán tử tuyến tính từ $\ker f_2$ vào $V_2$ là gì ạ

 

$\ker f_2 \subset V_2$, toán tử bạn cần chỉ là $x \mapsto x$

 

Còn vì sao chỉ cần chứng minh trên dãy ngắn. Có lẽ quy nạp sẽ dễ thấy. Nếu bạn có dãy khớp $0 \rightarrow V_1 \rightarrow \dots \rightarrow V_{n-2} \overset{f_{n-2}}{\rightarrow} V_{n-1} \overset{f_{n-1}}{\rightarrow} V_n \rightarrow 0$, bạn có thể tách nó ra thành 2 dãy

$$0 \rightarrow V_1 \rightarrow \dots \rightarrow V_{n-2} \overset{f_{n-2}}{\rightarrow} im f_{n-2} \rightarrow 0$$

và

$$0 \rightarrow \ker f_{n-1} \rightarrow V_{n-1} \rightarrow V_n \rightarrow 0$$

 

Dùng giả thuyết quy nạp sẽ được kết quả mong muốn.

 

Vì mọi dãy khớp đều có thể bị bẽ gảy thành dãy khớp ngắn, tương tự như trên.

 

Sorry bạn leminhansp vì mình nhảy vào giữa chừng

[quangbinng]

Em cám ơn, hóa ra có cách bẻ dãy khớp . Nhưng em thấy cái đoạn suy ra của anh leminhansp chính là định lí không gian nhân và không gian ảnh rồi ạ.

[quangbinng]

Bài 14.12 (Mở rộng định lí về đồng cấu) Cho $f: V \rightarrow U$ là một ánh xạ tuyến tính. Cho $V' \subseteq V$ và $U' \subseteq U$ sao cho $f(V') \subseteq U'$. Chứng minh rằng $f$ cảm sinh một đồng cấu

$$\bar{f}: V/V' \rightarrow U/U'; \bar{v} \mapsto  \bar{f(v)}$$

 

 với $\ker \bar{f}=f^{-1}(U')/V'$. Nói riêng nếu $W \subseteq \ker f$ thì f cảm sinh một đồng cấu 

$$ \bar{f}: V/W \rightarrow U; \bar{v} \mapsto f(v)$$

và $\ker \bar{f}=\ker f/W$

 

 

Em không thể chứng minh nó là đơn ánh ạ:

giả sử $\bar v' \not= \bar v$ thì $v-v' \notin V'$. ta cần phải có $\bar {f(v)} \not= \bar {f(v')}$ tức là $f(v-v') \notin U'$ nhưng điều kiện này chưa chắc chắn đúng ạ. Vậy phải làm sao ạ, mấy anh giúp em với.

[fghost]

tại sao bạn muốn chứng minh đó là đơn ánh? 

 

$\bar{f}$ của bạn có $\ker$ đâu phải bằng $0$.

 

để chứng minh tồn tại 1 đồng cấu $\bar{f}$ như vậy, bạn chỉ cần chứng minh với mọi 2 phần tử $v, v'$ sao cho $v - v' \subset V'$, thì ảnh của chúng dưới $f$ (hay $\bar{f}$) giống nhau. tức là ánh xạ của bạn có nghĩa. và sau đó, nó là đồng cấu thì hiển nhiên hơn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi fghost: 26-10-2014 - 01:19

[quangbinng]

tại sao bạn muốn chứng minh đó là đơn ánh? 

 

$\bar{f}$ của bạn có $\ker$ đâu phải bằng $0$.

 

để chứng minh tồn tại 1 đồng cấu $\bar{f}$ như vậy, bạn chỉ cần chứng minh với mọi 2 phần tử $v, v'$ sao cho $v - v' \subset V'$, thì ảnh của chúng dưới $f$ (hay $\bar{f}$) giống nhau. tức là ánh xạ của bạn có nghĩa. và sau đó, nó là đồng cấu thì hiển nhiên hơn.

 

sr,em đọc nhầm thành đẳng cấu, vậy đồng cấu là gì ạ.

[fghost]

sr,em đọc nhầm thành đẳng cấu, vậy đồng cấu là gì ạ.

 

nói ra ngại, mình không biết đồng cấu là gì cả vì mình không học theo từng vựng tiếng việt mình thấy bài dùng từ đó nên mình dùng theo.

 

(đồng cấu theo mình đoán có lẽ là homomorphism - trong trường hợp này là homomorphism giữa 2 không gian vector, nói cách khác đó là ánh xạ tuyến tính. Bạn có thể đã thấy homomorphism - đồng cấu - trong lý thuyết đại số trừu tượng, ánh xạ giữa 2 nhóm giao hoán, hay 2 vành giao hoán thõa mãn 1 vài tính chất đặc biệt. Về 1 mặt nào đó, không gian vector chỉ là 1 nhóm giao hoán có thêm cấu trúc nhân với 1 trường).

 

nói nhiều thành ra nói dở, đối với bài này, ta chỉ cần chứng minh tồn tại 1 ánh xạ tuyến tính $\bar{f}$ như trên.