Cho $n$ là số nguyên dương lẻ và lớn hơn $1$. Chứng minh rằng với mọi số $a=2^k+1$ với $k$ là số nguyên dương thì
$a^n-1$ không chia hết cho $n$
Cho $n$ là số nguyên dương lẻ và lớn hơn $1$. Chứng minh rằng với mọi số $a=2^k+1$ với $k$ là số nguyên dương thì
$a^n-1$ không chia hết cho $n$
Cho $n$ là số nguyên dương lẻ và lớn hơn $1$. Chứng minh rằng với mọi số $a=2^k+1$ với $k$ là số nguyên dương thì
$a^n-1$ không chia hết cho $n$
ch: chia hết cho; kch: không chia hết cho.
Giả sử $n$ là số nguyên dương lẻ nhỏ nhất thõa mãn $a^{n}-1$ ch $n$.
Nếu $\left ( a;n \right )=f>1$ thì $a^{n}-1$ kch $f$. Suy ra $a^{n}-1$ kch $n$.
Vậy $\left ( a;n \right )=1$. Theo tiêu chuẩn Euler ta có $a^{\varphi \left ( n \right )}-1$ ch $n$.
Mặt khác $\left (a^{n}-1;a^{\varphi \left ( n \right )}-1 \right )=a^{d}-1$, với $\left ( n;\varphi \left ( n \right ) \right )=d$.
Từ đó $a^{d}-1$ ch $n$. Nếu $d=1$ thì $a-1=2^{k}$ kch $n$ (do $n$ là số lẻ).
Vậy $d>1$. Suy ra $a^{d}-1$ ch $d$ (do $\left ( n;\varphi \left ( n \right ) \right )=d$).
Do $\left ( n;\varphi \left ( n \right ) \right )=d$ nên $1<d\leq \varphi \left ( n \right )<n$
Điều này vô lý với định nghĩa $n$ ban đầu.
Vậy $a^{n}-1$ kch $n$
Chú ý $\left ( a^{m}-1;a^{n}-1 \right )=a^{d}-1$, với $d=\left ( m;n \right )$
Thật vậy,
Giả sử $m>n$ và $m=qn+r$.
Ta có $\left ( a^{m}-1;a^{n}-1 \right )=\left ( a^{qn}-1+a^{qn}\left ( a^{r}-1 \right );a^{n}-1 \right )=\left ( a^{r}-1;a^{n}-1 \right )$
(do $a^{m}-1$ và $a^{n}-1$ kch $a$).
Từ đó ta có $\left ( m;n \right )=\left ( n;r \right )\Leftrightarrow \left ( a^{m}-1;a^{n}-1 \right )=\left ( a^{n}-1;a^{r}-1 \right )$.
Vậy theo thuật chia Euclide thì ta có điều phải chứng minh.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi shinichigl: 24-02-2015 - 14:43
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
\[2^{\left ( 3^{n} \right )}+ 1\equiv 0 \mod 3^{n}\]Bắt đầu bởi DOTOANNANG, 11-02-2018 sh |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
\[a\sqrt[3]{2} + b\sqrt[3]{4} \notin Q\]Bắt đầu bởi DOTOANNANG, 09-02-2018 sh |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Dãy số - Giới hạn →
$ a_{n+1}=a_n+[\sqrt{a_n}] $Bắt đầu bởi 19kvh97, 14-10-2014 ds, sh |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$19^{n}-97\vdots 2^{t}$Bắt đầu bởi Dung Du Duong, 14-09-2014 sh |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$19^{n}-1\vdots 2^{2014}$Bắt đầu bởi Dung Du Duong, 14-09-2014 sh |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh