Chủ đề này có 5 trả lời

[bachhammer]

ĐỀ THI HSG TỈNH CÀ MAU NĂM HỌC 2014 - 2015

 

Câu 1: (6.0đ) 1) Giải phương trình: $x=2-(2-x^{2})^{2}$

                      2) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^2+xy-y=3x\\3x^2-2y^2+y=3x \end{matrix}\right.$

Câu 2: (3.5đ) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: $f(x)=\frac{\sqrt{2x-x^2}+2}{1+\sqrt{2x-x^2}}$ trên đoạn $[\frac{1}{4};\frac{3}{2}]$.

Câu 3: (4.0đ) 

   1) Ba góc $\alpha,\beta,\gamma\in(0;\frac{\pi}{2})$ thỏa mãn: $cos(\alpha-\beta)=1,sin(\beta+2\gamma)=0$. Chứng minh rằng: $cos\alpha+cos\beta+cos\gamma \le \frac{3}{2}$.

   2) Biết $\frac{1006}{2013}<\frac{a}{b}<\frac{1007}{2015};a,b \in \mathbb{Z}^+$. Chứng minh: $a \ge 2013$.

Câu 4: (3.5đ) 

   Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có thể tích bằng 1. Tam giác ABC vuông cân tại A và có diện tích bằng nửa diện tích của tam giác AA'C. Điểm M di động trên AB và điểm N di động trên A'C' sao cho $AM=C'N>0$. Gọi I là trung điểm của đoạn MN. Chứng minh rằng: I luôn luôn nằm trên một mặt phẳng cố định. Tìm giá trị nhỏ nhất trong các khoảng cách từ I đến đường thẳng AA' khi MN thay đổi.

Câu 5: (3.0đ)

   Cho tập hợp A có n phần tử ($n>1$) và đánh dấu n phần tử đó là $a_1,a_2,...,a_k,...,a_n$. Sắp xếp n phần tử của A thành dãy hàng ngang theo thứ tự từ trái sang phải, gọi dãy như vậy là dãy (*). Gán cho phần tử $a_k$ ($k=1,2,...,n$) trong dãy (*) một giá trị $G_k$ theo qui tắc sau:

 + Nếu $a_k$ đứng ở vị trí đầu tiên trong dãy (*) thì $G_k=1$;

 + Gỉa sử $a_k$ đứng từ vị trí thứ hai trở đi và phần tử $a_i$ đứng bên trái $a_k$ thì $G_k=k$ nếu $k>i$ và $G_k=1$ nếu $k<i$.

  Đặt $S=G_1+G_2+...+G_n$. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của S đạt được khi các dãy (*) thay đổi.

  Tìm số phần tử của tập A trong mỗi trường hợp sau:

 1) Biết $M-m=15$.

 2) Cả hai giá trị M và m đều là số nguyên tố.

---------- HẾT ----------

P/s: Đề năm nay đúng là hay hơn năm ngoái xa.....và cũng khó xa!!!

 

[hoangtubatu955]

Câu hệ thì đồng bậc rồi.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 27-10-2014 - 10:45

[khanghaxuan]

Bài 3 : 

2. Giả sử ngược lại tức là : $a<2013\Rightarrow a=2013-k$

Mà ta luôn có : $\frac{1006}{2013}<\frac{3019-k}{2013+b}<\frac{2013-k}{b}<\frac{1007}{2015}$

Từ đó suy ra : $2015.3019-2015k<(2013+b).1007$

mà ta có :$2013<b+k Rightarrow k^{2}+k.(\frac{3b}{2}+2)+\frac{b^{2}}{2}+\frac{b}{2}-4056194 \Rightarrow \Delta <0 \Rightarrow b^{2}+16b+4056198<0$( vô lí )

Vậy ta suy ra DPCM

[hoctrocuaZel]

1/a/

$PT\Leftrightarrow x^4-4x^2+x+2=0\Leftrightarrow (x+2)(x-1)(x^2-x-1)=0$

[hoctrocuaZel]

Câu 2: (3.5đ) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: $f(x)=\frac{\sqrt{2x-x^2}+2}{1+\sqrt{2x-x^2}}$ trên đoạn $[\frac{1}{4};\frac{3}{2}]$.

 

Chả biết đúng kg!!!

Ta có: $A=\frac{t+2}{(t+1)}=1+\frac{1}{t+1}$ (với $\sqrt{2x-x^2}=t$)

Chỉ cần tìm Max, Min $t$.

*) Có: $\left\{\begin{matrix} x(2-x)>0\\ -x^2+2x=-(x+1)^2+1 \end{matrix}\right.\Rightarrow 0<-x^2+2x\leq 1\rightarrow t\leq 1\rightarrow A\geq 1+\frac{1}{1+1}=\frac{3}{2}$

Dấu bằng: $x=1$.

*) Có: $\frac{1}{4}\leq x\leq \frac{3}{2}<\frac{9}{4}\Leftrightarrow (x-\frac{1}{4})(\frac{9}{4}-x)\geq 0\Leftrightarrow -x^2+2x\geq \frac{9}{16}\rightarrow t\geq \frac{3}{4}\rightarrow f(x)=A\leq \frac{11}{7}$

Dấu băng: $x=\frac{1}{4}$

[E. Galois]

Câu 4: (3.5đ) 

 

   Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có thể tích bằng 1. Tam giác ABC vuông cân tại A và có diện tích bằng nửa diện tích của tam giác AA'C. Điểm M di động trên AB và điểm N di động trên A'C' sao cho $AM=C'N>0$. Gọi I là trung điểm của đoạn MN. Chứng minh rằng: I luôn luôn nằm trên một mặt phẳng cố định. Tìm giá trị nhỏ nhất trong các khoảng cách từ I đến đường thẳng AA' khi MN thay đổi.

 

Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa $MN$ và song song với $B'C'$. Gọi $MGNH$ là thiết diện của hình lăng trụ khi cắt bởi $(P)$. Gọi $K,J$ lần lượt là giao điểm của $(P)$ với $AB', AC'$. Dễ thấy $K,J$ lần lượt là trung điểm $AB',AC'$. Từ đó suy ra $I,J,K$ thẳng hàng. 

Do đó $I \in JK$ cố định. Hay $I$ nằm trên mặt phẳng $(AB'C')$ cố định.

 

Gọi $P, L,I'$ lần lượt là trung điểm $B'C',A'A, KJ$. Dễ thấy:

$$d_{(I,AA')}\geq d_{(KJ,AA')}=I'L=\frac{AP}{2}=\frac{AC\sqrt{2}}{2}$$

 

Theo bài ta có:

$$\left\{\begin{matrix}S_{ABC}.AA' =1\\AA'= 2AC \end{matrix}\right.\Rightarrow AC=1$$

Do đó:

$$\min d_{(I,AA')} = \frac{AC\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$