5 replies to this topic

[timmy]

Chứng minh: $C_{m}^{0}.C_{n}^{k}+C_{m}^{1}.C_{n}^{k-1}+...+C_{m}^{k}.C_{n}^{0}=C_{m+n}^{k}$

[ngocvan99]

Sử dụng đếm = 2 cách :

Cách 1 (vế phải) là số cách lấy ra $k$ phần tử trong số $m+n$ phần tử

Cách 2(vế trái) : 

Trong số $m+n$ phần tử giả sử tập $k$ phần tử đó là tập $A$, chia thành 2 tập hợp con $B$ và $C$, tập $B$ có $m$ phần tử và tập $C$ có $n$ phần tử.

Ta lần lượt lấy từ tập $B$ và tập $C$ số phần tử tương ứng $(0;k) ; (1;k-1) ; (2;k-2); .... ; (k-1;1) ; (k;0)$ . Như vậy, số cách lấy đó chính là vế trái của đẳng thức.

Mà tình cờ, 2 cách đếm ấy là tương đương nhau =)) suy ra đpcm =))

[demon311]

Sử dụng đếm = 2 cách :

Cách 1 (vế phải) là số cách lấy ra $k$ phần tử trong số $m+n$ phần tử

Cách 2(vế trái) : 

Trong số $m+n$ phần tử giả sử tập $k$ phần tử đó là tập $A$, chia thành 2 tập hợp con $B$ và $C$, tập $B$ có $m$ phần tử và tập $C$ có $n$ phần tử.

Ta lần lượt lấy từ tập $B$ và tập $C$ số phần tử tương ứng $(0;k) ; (1;k-1) ; (2;k-2); .... ; (k-1;1) ; (k;0)$ . Như vậy, số cách lấy đó chính là vế trái của đẳng thức.

Mà tình cờ, 2 cách đếm ấy là tương đương nhau =)) suy ra đpcm =))

 

Theo lời bạn thì chắc là như thế này:

 

Cho bài toán: Có bao nhiêu cách lấy k viên bi từ m+n viên bi?

 

Ta có 2 cách giải bài toán trên:

 

C1:

 

Chọn k viên bi từ m+n viên bi: $C^k_{m+n}$ cách

 

C2:

Để chọn được thì ta tiến hành các bước sau:

 

B1: Chọn l viên trong m viên: có $C^l_{m}$ cách

 

B2: Chọn k-l viên trong n viên còn lại: Có $C^{k-l}_n$ cách

 

Như vậy có: $\sum \limits^{k}_{i=1} C^i_m.C^{k-i}_{n}$ cách

 

Như vậy số vì số cách là như nhau nên:

 

$\sum \limits^{k}_{i=1} C^i_m.C^{k-i}_{n}=C^k_{m+n}$

Edited by demon311, 29-10-2014 - 18:15.

[ngocvan99]

Theo lời bạn thì chắc là như thế này:

 

Cho bài toán: Có bao nhiêu cách lấy k viên bi từ m+n viên bi?

 

Ta có 2 cách giải bài toán trên:

 

C1:

 

Chọn k viên bi từ m+n viên bi: $C^k_{m+n}$ cách

 

C2:

Để chọn được thì ta tiến hành các bước sau:

 

B1: Chọn l viên trong m viên: có $C^l_{m}$ cách

 

B2: Chọn k-l viên trong n viên còn lại: Có $C^{k-l}_n$ cách

 

Như vậy có: $\sum \limits^{k}_{i=1} C^i_m.C^{k-i}_{n}$ cách

 

Như vậy số vì số cách là như nhau nên:

 

$\sum \limits^{k}_{i=1} C^i_m.C^{k-i}_{n}=C^k_{m+n}$

uh

[phuongtrinh2988]

$\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}.\sum_{i=0}^{k}\binom{k}{r}=\sum_{k=0}^{n}\bi\sum_{i=0}^{k}\binom{n}{k}.\binom{k}{i}$

có công thức ni không các bạn?

[phuongtrinh2988]

Dùng khai triển nhị thức niutơn ta thấy : VT là hệ số của $x^{k}$ trong khai triển $(1+x)^{_{m}}.(1+x)^{_{n}$

Vế phải là hệ số của $x^{k}$ trong khai triển của $(1+x)^{m+n}$