Chứng minh: $C_{m}^{0}.C_{n}^{k}+C_{m}^{1}.C_{n}^{k-1}+...+C_{m}^{k}.C_{n}^{0}=C_{m+n}^{k}$
$C_{m}^{0}.C_{n}^{k}+C_{m}^{1}.C_{n}^{k-1}+...+C_{m}^{k}.C_{n}^{0}=C_{m+n}^{k}$
#1
Đã gửi 28-10-2014 - 22:50
#2
Đã gửi 29-10-2014 - 10:31
Sử dụng đếm = 2 cách :
Cách 1 (vế phải) là số cách lấy ra $k$ phần tử trong số $m+n$ phần tử
Cách 2(vế trái) :
Trong số $m+n$ phần tử giả sử tập $k$ phần tử đó là tập $A$, chia thành 2 tập hợp con $B$ và $C$, tập $B$ có $m$ phần tử và tập $C$ có $n$ phần tử.
Ta lần lượt lấy từ tập $B$ và tập $C$ số phần tử tương ứng $(0;k) ; (1;k-1) ; (2;k-2); .... ; (k-1;1) ; (k;0)$ . Như vậy, số cách lấy đó chính là vế trái của đẳng thức.
Mà tình cờ, 2 cách đếm ấy là tương đương nhau =)) suy ra đpcm =))
_\ forever LOVE ntna /_
.
-- Ngọc Văn --
#3
Đã gửi 29-10-2014 - 18:14
Sử dụng đếm = 2 cách :
Cách 1 (vế phải) là số cách lấy ra $k$ phần tử trong số $m+n$ phần tử
Cách 2(vế trái) :
Trong số $m+n$ phần tử giả sử tập $k$ phần tử đó là tập $A$, chia thành 2 tập hợp con $B$ và $C$, tập $B$ có $m$ phần tử và tập $C$ có $n$ phần tử.
Ta lần lượt lấy từ tập $B$ và tập $C$ số phần tử tương ứng $(0;k) ; (1;k-1) ; (2;k-2); .... ; (k-1;1) ; (k;0)$ . Như vậy, số cách lấy đó chính là vế trái của đẳng thức.
Mà tình cờ, 2 cách đếm ấy là tương đương nhau =)) suy ra đpcm =))
Theo lời bạn thì chắc là như thế này:
Cho bài toán: Có bao nhiêu cách lấy k viên bi từ m+n viên bi?
Ta có 2 cách giải bài toán trên:
C1:
Chọn k viên bi từ m+n viên bi: $C^k_{m+n}$ cách
C2:
Để chọn được thì ta tiến hành các bước sau:
B1: Chọn l viên trong m viên: có $C^l_{m}$ cách
B2: Chọn k-l viên trong n viên còn lại: Có $C^{k-l}_n$ cách
Như vậy có: $\sum \limits^{k}_{i=1} C^i_m.C^{k-i}_{n}$ cách
Như vậy số vì số cách là như nhau nên:
$\sum \limits^{k}_{i=1} C^i_m.C^{k-i}_{n}=C^k_{m+n}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi demon311: 29-10-2014 - 18:15
Ngoài ngoại hình ra thì ta chả có cái gì cả =))
#4
Đã gửi 29-10-2014 - 21:41
Theo lời bạn thì chắc là như thế này:
Cho bài toán: Có bao nhiêu cách lấy k viên bi từ m+n viên bi?
Ta có 2 cách giải bài toán trên:
C1:
Chọn k viên bi từ m+n viên bi: $C^k_{m+n}$ cách
C2:
Để chọn được thì ta tiến hành các bước sau:
B1: Chọn l viên trong m viên: có $C^l_{m}$ cách
B2: Chọn k-l viên trong n viên còn lại: Có $C^{k-l}_n$ cách
Như vậy có: $\sum \limits^{k}_{i=1} C^i_m.C^{k-i}_{n}$ cách
Như vậy số vì số cách là như nhau nên:
$\sum \limits^{k}_{i=1} C^i_m.C^{k-i}_{n}=C^k_{m+n}$
uh
_\ forever LOVE ntna /_
.
-- Ngọc Văn --
#5
Đã gửi 15-01-2015 - 04:57
$\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}.\sum_{i=0}^{k}\binom{k}{r}=\sum_{k=0}^{n}\bi\sum_{i=0}^{k}\binom{n}{k}.\binom{k}{i}$
có công thức ni không các bạn?
Nguyễn Trần Phương Trình
#6
Đã gửi 15-01-2015 - 05:02
Dùng khai triển nhị thức niutơn ta thấy : VT là hệ số của $x^{k}$ trong khai triển $(1+x)^{_{m}}.(1+x)^{_{n}$
Vế phải là hệ số của $x^{k}$ trong khai triển của $(1+x)^{m+n}$
Nguyễn Trần Phương Trình
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh