Chủ đề này có 2 trả lời

[nguyentuanbvu]

ai giúp em giải bài này  $\lim_{z \to} \frac{sin z}{z}$. tại sao lại bằng 1

[Tran Nho Duc]

ai giúp em giải bài này  $\lim_{z \to} \frac{sin z}{z}$. tại sao lại bằng 1

Vì $x$ khác $0$ nên ta xét $x$ trong 1 khoảng nào đó chứa 0, chẳng hạn $x\in \begin{pmatrix} \frac{-\pi}{2};\frac{\pi}{2} \end{pmatrix}\setminus \begin{Bmatrix} 0 \end{Bmatrix}$

Giả sử $x\in \begin{pmatrix} 0;\frac{\pi}{2} \end{pmatrix}$

Trên đường tròn lượng giác ta đặt cung AM có số đo bàng x rad.

Tia OM cắt trục tan tại T

Ta có diện tích tam giác OAM < diện tích quạt OAT, tức là :

$\frac{1}{2}sinx<\frac{1}{2}x<\frac{1}{2}tanx$ $(1)$

Vì $cosx>0$ với $x\in \begin{pmatrix} 0;\frac{\pi}{2} \end{pmatrix}$ nên từ $(1)$ suy ra :

$cosx<\frac{sinx}{x}<1$ $(2)$

Nếu $x\in \begin{pmatrix} \frac{-\pi}{2};0 \end{pmatrix}$ thì $-x\in \begin{pmatrix} 0;\frac{\pi}{2} \end{pmatrix}$ áp dụng công thức $(2)$ ta được :

$cos(-x)<\frac{sin(-x)}{-x}<1 \Leftrightarrow cosx<\frac{sinx}{x}<1$

Vậy với mọi $x\in \begin{pmatrix} \frac{-\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \end{pmatrix}$ và $x$ khác 0 ta luôn luôn có $2$

Vì hàm số $y=cosx$ liên tục trên $R$ nên $\lim_{x \to 0}cosx=cos0=1$.

Theo định lí kẹp, từ $(2)$ suy ra $\lim_{x \to 0}\frac{sinx}{x}=1$

 

[Tran Nho Duc]

Hình ảnh minh họa :