Chủ đề này có 3 trả lời

[thienminhdv]

Cho 3 số dương thỏa mãn $a+b+c=3$. Tim Min của $P=3(a^2+b^2+c^2)+4abc$

[dogsteven]

Áp dụng BDT Schur:

$P \geqslant 3(a^2+b^2+c^2)+\dfrac{4}{3}[4(ab+bc+ca)-9]=3(a^2+b^2+c^2)+\dfrac{16}{3}(ab+bc+ca)-12$

 

Đặt $x=ab+bc+ca; a^2+b^2+c^2=9-2x; x\leqslant \dfrac{(a+b+c)^2}{3}=3$

 

Khi đó $P\geqslant 3(9-2x)+\dfrac{16}{3}x-12=\dfrac{-2}{3}x+15\geqslant 13$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 30-10-2014 - 18:29

[dogsteven]

Giả sử $a \leqslant b \leqslant c \Rightarrow a \leqslant 1$

 

Đặt $2t=b+c=3-a \Rightarrow  1\leqslant t \leqslant \dfrac{3}{2}$

 

$(3-2a)(b-c)^2 \geqslant 0 \Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)+4abc \geqslant 3(a^2+2t^2)+4at^2=-8t^3+30t^2-36t+27=2(t-1)^2(7-4t)+13 \geqslant 13$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 30-10-2014 - 18:45

[Bui Ba Anh]

Đặt $a+b+c=p,ab+ac+bc=q,abc=r$. Từ giả thiết ta đi tìm Min của $P=3p^2-6q+4r$

Áp dụng BĐT Schur ta có $p^3+9r \geq 4pq$ từ đây suy ra $r\geq \frac{4q-9}{3}$. Thế vào $P$ ta có $P\geq 3p^2-6q+\frac{16q-36}{3}$

Ta sẽ chứng minh $P\geq 13$

$3p^2-6q+\frac{16q-36}{3}\geq 13<=> 9p^2-2q\geq 75$

Điều này đúng vì $9p^2-2q\geq 25p^2=75(p^2\geq 3q)$ (đpcm)