Chủ đề này có 3 trả lời

[quangbinng]

 

 

 

 

 

 

 

Hình gửi kèm

• 

[quangbinng]

Cho em hỏi ở chỗ hệ quả 3.8: 

 

$\varphi : K[X] \rightarrow K[X]$

kí hiệu $K[X]$ có phải là không gian X trên trường K không ạ?

nhưng ở dưới lại có có $X^n$ trong thân hàm là sao ạ?

 

-và tại sao nó là đơn cấu và không là toàn cấu ạ?

 

--------------------------------------------------------------------------

 

ở định nghĩa 4.1:

 

tại sao chiều của V* lại bằng tích chiều của K và chiều của V ạ?

và tại sao nó không đúng khi V vô hạn chiều ạ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quangbinng: 31-10-2014 - 16:02

[fghost]

Cho em hỏi ở chỗ hệ quả 3.8: 

 

$\varphi : K[X] \rightarrow K[X]$

kí hiệu $K[X]$ có phải là không gian X trên trường K không ạ?

nhưng ở dưới lại có có $X^n$ trong thân hàm là sao ạ?

 

-và tại sao nó là đơn cấu và không là toàn cấu ạ?

 

--------------------------------------------------------------------------

 

ở định nghĩa 4.1:

 

tại sao chiều của V* lại bằng tích chiều của K và chiều của V ạ?

và tại sao nó không đúng khi V vô hạn chiều ạ?

 

mình không rành lắm về đại số tuyến tính, biết đến đâu thì nói đến đó vậy.

 

$K[X]$ là vành đa thức với biến $X$ và hệ số trong trường $K$, thí dụ phần tử của $K[X]$ là $1+X+X^2+X^3$. Đa thức theo định nghĩa chỉ có hữu hạn đơn thức, và có hữu hạn bậc. Thí dụ vừa rồi có bậc $3$.

 

Và vành đa thức cũng được xem như không gian vector với vô hạn chiều, trên trường $K$ (bạn có thể kiểm tra những điều kiện của không gian vector, bạn sẽ thấy. Hay dễ thấy $K[X]$ là vành giao hoán, nên cũng là nhóm giao hoán, và phép nhân với phần tử trong $K$ tương thích với phép cộng của 2 biểu thức). Không gian vector này vô hạn chiều vì tập $\{1, X, X^2, X^3, \dots\}$ độc lập tuyến tính.

 

Vì sao $X^n \mapsto X^{n+1}$ là đơn cấu, là vì phần tử duy nhất có ảnh $0$ là $0$ (bạn nhìn vào bậc sẽ thấy, mọi đa thức $p(X)$ sẽ có ảnh $Xp(X)$). Nó không toàn cấu vì không có đa thức nào cho ảnh $1$.

 

$V^*$ có số chiều bằng số chiều của $V$ (nếu $V$ hữu hạn chiều), là vì khi $V$ hữu hạn chiều, ta có cơ sở cho $V$. Giữ cố định cơ sở đó. Khi đó, mỗi ánh xạ tuyến tính của $V \rightarrow K$ được xác định bằng ảnh của mỗi phần tử của cơ sở đó của $V$. Và sự xác định này là duy nhất. Vì vậy ta có thể lập 1 cơ sở của $V^*$ từ cơ sở của $V$.

 

Cụ thể, $V \rightarrow K$. Giữ cố định cơ sở $\{e_1, \dots, e_n\}$ của $V$. Như vậy, ta có thể xem ánh xạ tuyến tính từ $V$ đến $K$ là ánh xạ tuyến tính từ $K^n$ đến $K$. Và ánh xạ tuyến tính đó được biểu diễn bằng 1 ma trận $n \times 1$ (hay $1 \times n$ tùy vào cách nhìn của bạn). Như vậy $V^*$ chỉ đơn giản là không gian vector của tất cả các ma trận $n \times 1$ với hệ số trong $K$, và vì vậy có $n$ chiều và tương đương với $V$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi fghost: 31-10-2014 - 20:07

[Nxb]

Trong sách của một mệnh đề tổng quát về chiều của không gian L(V, W), bạn tìm thử xem.

Còn tại sao V vô hạn chiều không còn đúng nữa thì vì trong sách không có mệnh đề nào về đẳng cấu của hai không gian vô hạn chiều nên tất nhiên là bạn không thể chắc chắn được chuyện đó rồi và nếu có thể bạn hãy thử tìm phản vd xem.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 02-11-2014 - 08:42