Chủ đề này có 2 trả lời

[sherry Ai]

tính $lim (1-\frac{2}{2.3})(1-\frac{2}{3.4})...(1-\frac{2}{(n+1)(n+2)})$

[SilentAssassin1998]

Gọi biểu thức cần tính lim là A

 

$\prod_{i = 2}^{n+1} \left ( 1 - \frac{2}{i(i+1)} \right ) = \prod_{i = 2}^{n+1} \frac{i^2 + i - 2}{i(i+1)} = \prod_{i = 2}^{n+1} \frac{(i - 1)(i + 2)}{i(i+1)}$

 

Vậy ta có $\prod_{i = 2}^{n+1} \frac{(i - 1)(i + 2)}{i(i+1)} = \frac{1 . 4}{2.3} \cdot \frac{2 . 5}{3.4}\cdot \frac{3 . 6}{4.5} \cdot \cdot\cdot\cdot \frac{(n - 1)(n + 2)}{n(n + 1)} \cdot \frac{n(n + 3)}{(n + 1)(n + 2)}$

 

Nhận xét: Ở trên tử có 1 thừa số 2, có 1 thừa số 3, có 2 thừa số 4, ..., có 2 thừa số n, có 1 thừa số n + 1, có 1 thừa số n + 2 và có 1 thừa số n + 3

 

Còn ở dưới mẫu: Có 1 thừa số 2, có 2 thừa số 3, có 2 thừa số 4, ..., có hai thừa số n, có 2 thừa số n + 1, có 1 thừa số n + 2 và không có thừa số n + 3.

 

Vì thế: $A = \frac{n + 3}{3(n + 1)}$

 

Suy ra: $\lim_{n \rightarrow \infty } $A  $= \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{n + 3}{3(n + 1)} = \frac{1}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SilentAssassin1998: 31-10-2014 - 21:51

[caovannct]

tính $lim (1-\frac{2}{2.3})(1-\frac{2}{3.4})...(1-\frac{2}{(n+1)(n+2)})$

sử dụng kết quả $1-\frac{2}{k(k+1)}=\frac{(k-1)(k+2)}{k(k+1)}$